Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048191

Что тут происходит. Мячик бросили под углом к горизонту, он долетел до верхней точки траектории — и ровно в этот момент из точки броска стреляют пулей. Пуля быстрая, но и мячик не стоит на месте: он продолжает лететь вперёд и падать. Нужно подобрать угол выстрела так, чтобы пуля и мячик через некоторое время оказались в одной точке.

Дано: $\alpha=60^\circ$, $\upsilon=20\ \text{м/с}$, $V=120\ \text{м/с}$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $\varphi$.

Шаг 1 — где мячик в момент выстрела. Начало координат — точка броска, ось $x$ по горизонтали в сторону полёта, ось $y$ вверх. Вертикальная составляющая скорости мячика $\upsilon\sin\alpha=20\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\approx17{,}3\ \text{м/с}$, горизонтальная $u=\upsilon\cos\alpha=20\cdot\dfrac12=10\ \text{м/с}$. В верхней точке вертикальная скорость обнуляется, это происходит через

$$t_1=\dfrac{\upsilon\sin\alpha}{g}=\dfrac{17{,}3}{10}\approx1{,}73\ \text{с}.$$

Высота верхней точки и её расстояние по горизонтали от точки броска:

$$H=\dfrac{(\upsilon\sin\alpha)^2}{2g}=\dfrac{300}{20}=15\ \text{м},\qquad X=u\,t_1=10\cdot1{,}73\approx17{,}3\ \text{м}.$$

Шаг 2 — движение после выстрела. Время $\tau$ отсчитываем от выстрела. Мячик в верхней точке летит горизонтально со скоростью $u$ и начинает падать, пуля вылетает из начала координат под углом $\varphi$. Ускорение у обоих одно и то же — $\vec g$ (сопротивления нет):

$$x_{\text{м}}=X+u\tau,\quad y_{\text{м}}=H-\dfrac{g\tau^2}{2};\qquad x_{\text{п}}=V\cos\varphi\cdot\tau,\quad y_{\text{п}}=V\sin\varphi\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}.$$

Шаг 3 — условие встречи. Приравниваем координаты. По вертикали слагаемое $\dfrac{g\tau^2}{2}$ стоит в обеих частях, и остаётся простое равенство:

$$V\sin\varphi\cdot\tau=H\quad\Rightarrow\quad \tau=\dfrac{H}{V\sin\varphi}.$$

Смысл понятен: оба тела падают одинаково, поэтому пуля «догоняет» мячик так, будто тяжести нет вовсе. По горизонтали:

$$V\cos\varphi\cdot\tau=X+u\tau\quad\Rightarrow\quad (V\cos\varphi-u)\,\tau=X.$$

Шаг 4 — исключаем $\tau$. Подставляем $\tau$ из вертикального уравнения:

$$(V\cos\varphi-u)\cdot\dfrac{H}{V\sin\varphi}=X\quad\Rightarrow\quad V\cos\varphi-u=\dfrac{X}{H}\,V\sin\varphi.$$

Отношение $\dfrac{X}{H}=\dfrac{17{,}3}{15}\approx1{,}155$, поэтому $\dfrac{X}{H}V\approx1{,}155\cdot120\approx138{,}6\ \text{м/с}$, и уравнение принимает вид

$$120\cos\varphi-10=138{,}6\sin\varphi.$$

Шаг 5 — решаем численно. Подбираем угол на калькуляторе. При $\varphi=37^\circ$: левая часть $120\cdot0{,}799-10\approx85{,}8$, правая $138{,}6\cdot0{,}602\approx83{,}4$ — левая больше. При $\varphi=38^\circ$: левая $120\cdot0{,}788-10\approx84{,}6$, правая $138{,}6\cdot0{,}616\approx85{,}3$ — уже правая больше. Значит, корень между $37^\circ$ и $38^\circ$; разности $+2{,}4$ и $-0{,}8$ дают по линейной интерполяции

$$\varphi\approx37^\circ+\dfrac{2{,}4}{2{,}4+0{,}8}\cdot1^\circ\approx37{,}8^\circ.$$

Проверим себя. При $\varphi=37{,}8^\circ$ время полёта пули $\tau=\dfrac{15}{120\cdot0{,}613}\approx0{,}204\ \text{с}$. За это время пуля пролетит по горизонтали $120\cdot0{,}790\cdot0{,}204\approx19{,}4$ м, а мячик окажется на $17{,}3+10\cdot0{,}204\approx19{,}4$ м от точки броска — совпало. И по смыслу верно: вершина траектории видна из точки броска под углом $\operatorname{arctg}\dfrac{15}{17{,}3}\approx40{,}9^\circ$, а стрелять приходится чуть ниже, с упреждением, потому что мячик за время полёта пули уходит вперёд.