Кинематика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048219

Что тут происходит. Тело падает из состояния покоя. Какой-то первый кусок пути оно проходит за $1$ с. Кусок такой же длины в самом конце падения оно проскакивает вдвое быстрее — за $0{,}5$ с: к концу тело успело разогнаться. Нужно найти, сколько длилось всё падение.

Дано: $\tau=1\ \text{с}$, время последнего участка $\dfrac{\tau}{2}=0{,}5\ \text{с}$, $\upsilon_0=0$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $t$.

Шаг 1 — длина участка. Сопротивления воздуха нет («свободно падающее»), поэтому движение равноускоренное с ускорением $g$. Первый участок начинается с покоя, значит его длина

$$s=\dfrac{g\tau^2}{2}=\dfrac{10\cdot1^2}{2}=5\ \text{м}.$$

Шаг 2 — последний участок. Он начинается за $\dfrac{\tau}{2}$ до удара о землю, то есть в момент $t-\dfrac{\tau}{2}$. Его длина — это вся высота падения минус путь, пройденный до этого момента. Путь из покоя за время $t$ равен $\dfrac{gt^2}{2}$, поэтому

$$\dfrac{gt^2}{2}-\dfrac{g\left(t-\frac{\tau}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{g\tau^2}{2}.$$

Шаг 3 — раскрываем скобки. $\left(t-\dfrac{\tau}{2}\right)^2=t^2-t\tau+\dfrac{\tau^2}{4}$, поэтому в левой части остаётся $\dfrac{g}{2}\left(t\tau-\dfrac{\tau^2}{4}\right)$. Делим обе части на $\dfrac{g}{2}$ и на $\tau$:

$$t-\dfrac{\tau}{4}=\tau\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{5\tau}{4}.$$

Обрати внимание: $g$ в ответ не вошло — полное время определяется только временем $\tau$.

Шаг 4 — число: $t=\dfrac{5\cdot1}{4}=1{,}25\ \text{с}$.

Проверим себя. Высота падения $H=\dfrac{10\cdot1{,}25^2}{2}=5\cdot1{,}5625=7{,}8125$ м. До начала последнего участка, за $1{,}25-0{,}5=0{,}75$ с, тело прошло $\dfrac{10\cdot0{,}75^2}{2}=2{,}8125$ м. Разность $7{,}8125-2{,}8125=5$ м — ровно длина первого участка. Сходится.

Заметь интересную деталь: высота $7{,}8$ м меньше суммы двух участков по $5$ м. Это не ошибка — первый участок длится с $0$ до $1$ с, а последний с $0{,}75$ до $1{,}25$ с, то есть они частично перекрываются. Условие этого не запрещает.