Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048381

Что здесь происходит. Брусок лежит на левом краю доски, и его тянут вправо силой $F$. Нить от бруска уходит к блоку на стене, огибает его и возвращается к доске. Поэтому, когда брусок едет вправо, нить подтягивает доску влево, к стене. Тела разъезжаются навстречу друг другу, и брусок, проехав по доске всю её длину, соскальзывает с правого края. Время этого известно — по нему найдём силу.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной — в ней работает второй закон Ньютона. Брусок небольшой, его размерами пренебрегаем: это материальная точка, и «соскальзывает с края» означает, что относительно доски он прошёл ровно её длину $L$. Доска движется поступательно, её тоже описываем как материальную точку. Нить лёгкая и нерастяжимая, блок идеальный (невесомый, без трения в оси): натяжение одинаково по всей нити, а модули ускорений бруска и доски равны. Брусок скользит по доске, поэтому между ними действует сила трения скольжения $\mu N=\mu mg$ (брусок прижат к доске только своим весом, сила $F$ горизонтальна). Стол гладкий — трения между доской и столом нет. Силы постоянны, значит, движение равноускоренное.

Рисунок сил. На брусок: сила тяжести $m\vec g$ вниз, реакция доски $\vec N$ вверх, сила $\vec F$ вправо, натяжение нити $\vec T$ влево (нить идёт к блоку), сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ влево (брусок скользит по доске вправо). На доску: сила тяжести $M\vec g$ вниз, реакция стола вверх, вес бруска (сила давления бруска) вниз, натяжение нити $\vec T$ влево, сила трения со стороны бруска вправо (по третьему закону Ньютона).

Шаг 1 — ускорение. Модули ускорений тел одинаковы, обозначим их $a$. Тела движутся в противоположные стороны, поэтому брусок относительно доски разгоняется с ускорением $2a$ из состояния покоя и за время $t$ проходит $L$:

$$L=\dfrac{2a\,t^2}{2}=at^2\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{L}{t^2}=\dfrac{0{,}5}{1^2}=0{,}5\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 2 — второй закон Ньютона для каждого тела. Для бруска (ось вправо) и для доски (ось влево, по её движению):

$$ma=F-T-\mu mg,\qquad Ma=T-\mu mg.$$

Шаг 3 — исключаем натяжение. Сложим уравнения:

$$(M+m)a=F-2\mu mg\quad\Rightarrow\quad F=(M+m)\dfrac{L}{t^2}+2\mu mg.$$

Шаг 4 — числа. $(10+2)\cdot0{,}5=6$ Н, $2\cdot0{,}2\cdot2\cdot10=8$ Н:

$$F=6+8=14\ \text{Н}.$$

Проверим себя. Из уравнения доски натяжение $T=Ma+\mu mg=10\cdot0{,}5+0{,}2\cdot2\cdot10=9$ Н. Подставим в уравнение бруска: $F-T-\mu mg=14-9-4=1$ Н, а $ma=2\cdot0{,}5=1$ Н — сходится. Ещё сравнение: если бы доску закрепили, бруску хватило бы $F=m\cdot\dfrac{2L}{t^2}+\mu mg=2\cdot1+4=6$ Н. С подвижной доской силы нужно больше: приходится разгонять ещё и доску, а трение «работает против» дважды — тормозит брусок и тормозит доску.