Волновая Оптика… — Задание ЕГЭ по физике №00048324

Что тут происходит. Свет одной длины волны падает на дифракционную решётку перпендикулярно её плоскости. За решёткой свет идёт яркими пучками только в определённых направлениях — там, где волны от соседних щелей усиливают друг друга. На экране это светлые полосы — максимумы. Центральная полоса стоит прямо напротив решётки, это максимум нулевого порядка; от неё в обе стороны идут максимумы первого, второго порядка и так далее. Нам сказано, где на экране оказался второй максимум, и надо найти период решётки — расстояние между соседними щелями.

Дано: $L=1$ м, $\Delta x=10\ \text{см}=0{,}1$ м, $k=2$, $\lambda=500\ \text{нм}=5\cdot10^{-7}$ м. Найти: $d$.

Шаг 1 — условие максимума. Для решётки, на которую свет падает по нормали, направления на главные максимумы задаёт формула

$$d\sin\alpha=k\lambda,$$

где $\alpha$ — угол между направлением на максимум и перпендикуляром к решётке, $k$ — порядок максимума. Второй максимум, если считать от центрального (нулевого), — это $k=2$.

Шаг 2 — угол из геометрии. Решётка, центр картины и второй максимум образуют прямоугольный треугольник: один катет — расстояние $L$ от решётки до экрана, другой — смещение $\Delta x$ вдоль экрана. Поэтому

$$\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\Delta x}{L}=\dfrac{0{,}1}{1}=0{,}1.$$

Угол маленький, и условие разрешает считать $\sin\alpha\approx\mathrm{tg}\,\alpha$.

Шаг 3 — выражаем период. Подставим $\sin\alpha\approx\dfrac{\Delta x}{L}$ в условие максимума:

$$d\cdot\dfrac{\Delta x}{L}=k\lambda\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{k\lambda L}{\Delta x}.$$

Шаг 4 — считаем:

$$d=\dfrac{2\cdot5\cdot10^{-7}\cdot1}{0{,}1}=\dfrac{10^{-6}}{0{,}1}=10^{-5}\ \text{м}=10\ \text{мкм}.$$

Проверим себя. Законно ли приближение: при $\mathrm{tg}\,\alpha=0{,}1$ угол около $5{,}7^\circ$, а $\sin\alpha\approx0{,}0995$ — отличие всего в полпроцента. Второй взгляд: при малых углах максимумы стоят на экране через равные промежутки, значит, первый максимум должен лежать посередине, в $5$ см от центра. По нашей решётке $x_1=\dfrac{\lambda L}{d}=\dfrac{5\cdot10^{-7}\cdot1}{10^{-5}}=0{,}05$ м — сходится. И период правдоподобен: в нём умещается $\dfrac{d}{\lambda}=\dfrac{10^{-5}}{5\cdot10^{-7}}=20$ длин волн, это решётка на $100$ штрихов на миллиметр.