Волновая Оптика… — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043162

Что тут происходит. Белый свет — это смесь всех цветов от фиолетового до красного. Дифракционная решётка отклоняет разные цвета на разные углы, поэтому на экране вместо одного пятна получаются радужные полоски — спектры первого, второго и других порядков. Линза стоит вплотную к решётке и собирает лучи на экране. Известна ширина спектра второго порядка, нужно найти расстояние от линзы до экрана.

Шаг 1 — период решётки. Период $d$ — это расстояние между соседними штрихами. На $1$ см $=10^{-2}$ м приходится $500$ штрихов, значит $$d=\frac{10^{-2}}{500}=2\cdot10^{-5}\ \text{м}.$$

Шаг 2 — где на экране оказывается каждый цвет. Условие главного максимума $k$-го порядка: $d\sin\varphi=k\lambda$. По условию углы малы и $\sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi\approx\varphi$. Луч, идущий через центр линзы, не преломляется, поэтому точка данного цвета смещена от центра экрана на $x=L\,\mathrm{tg}\,\varphi\approx L\varphi$, где $L$ — расстояние от линзы до экрана. Получаем $$x=\frac{kL\lambda}{d}.$$

Шаг 3 — ширина спектра. Спектр второго порядка начинается фиолетовым краем (у фиолетового длина волны меньше, угол меньше, он ближе к центру) и кончается красным. Ширина — разность положений краёв при $k=2$: $$\Delta x=x_{\text{к}}-x_{\text{ф}}=\frac{2L(\lambda_{\text{к}}-\lambda_{\text{ф}})}{d}.$$

Шаг 4 — выражаем $L$ и считаем. Ширина $\Delta x=10$ см $=0{,}1$ м, разность длин волн $8\cdot10^{-7}-4\cdot10^{-7}=4\cdot10^{-7}$ м: $$L=\frac{\Delta x\,d}{2(\lambda_{\text{к}}-\lambda_{\text{ф}})}=\frac{0{,}1\cdot2\cdot10^{-5}}{2\cdot4\cdot10^{-7}}=\frac{2\cdot10^{-6}}{8\cdot10^{-7}}=2{,}5\ \text{м}.$$

Проверим себя. Законно ли приближение малых углов? Для красного края второго порядка $\sin\varphi=\dfrac{2\cdot8\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-5}}=0{,}08$ — угол около $4{,}6^\circ$, действительно маленький. И обратный счёт: при $L=2{,}5$ м красный край стоит на $x_{\text{к}}=\dfrac{2\cdot2{,}5\cdot8\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-5}}=0{,}2$ м, фиолетовый — на $0{,}1$ м, разность $0{,}1$ м $=10$ см, как в условии.