ID: 00017647
Плоская монохроматическая световая волна с частотой $8{,}0\cdot10^{14}$ Гц падает по нормали на дифракционную решётку. Параллельно решётке позади неё размещена собирающая линза с фокусным расстоянием 21 см. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядка равно 18 мм. Найдите период решётки. Ответ выразите в микрометрах (мкм), округлив до десятых. Считать для малых углов ($\varphi \ll 1$ в радианах) $\mathrm{tg}\,\varphi \approx \sin\varphi \approx \varphi$.
Источник: ФИПИ
$\nu = 8{,}0\cdot10^{14}$ Гц
$F = 21$ см $= 0{,}21$ м
$\Delta x = 18$ мм $= 0{,}018$ м
$c = 3\cdot10^{8}$ м/с
малые углы: $\mathrm{tg}\,\varphi \approx \sin\varphi \approx \varphi$
Найти: $d$ — ?
Решётка раскладывает свет на максимумы под разными углами. Линза собирает параллельные лучи, идущие под углом $\varphi$, в одну точку на экране, причём смещение этой точки от центра равно $x = F\,\mathrm{tg}\,\varphi$. Чем больше порядок максимума — тем больше угол и тем дальше от центра он окажется. Зная, на сколько разъехались соседние максимумы (1-й и 2-й), найдём период решётки.
1. Длина волны. Сначала переведём частоту в длину волны:
$\lambda = \dfrac{c}{\nu} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{8{,}0\cdot10^{14}} = 3{,}75\cdot10^{-7}\ \text{м}.$
2. Условие главных максимумов решётки (свет падает по нормали):
$d\sin\varphi_m = m\lambda.$
Для малых углов $\sin\varphi_m \approx \varphi_m$, поэтому $\varphi_m \approx \dfrac{m\lambda}{d}$.
3. Положение максимума на экране. Линза переводит угол $\varphi_m$ в смещение $x_m = F\,\mathrm{tg}\,\varphi_m \approx F\varphi_m$:
$x_m \approx F\cdot\dfrac{m\lambda}{d}.$
4. Расстояние между 1-м и 2-м максимумами. Вычитаем $x_2 - x_1$:
$\Delta x = x_2 - x_1 = \dfrac{F\lambda}{d}(2 - 1) = \dfrac{F\lambda}{d}.$
Отсюда выражаем период:
$d = \dfrac{F\lambda}{\Delta x}.$
Подстановка чисел:
$d = \dfrac{0{,}21 \cdot 3{,}75\cdot10^{-7}}{0{,}018} = \dfrac{7{,}875\cdot10^{-8}}{0{,}018} \approx 4{,}4\cdot10^{-6}\ \text{м} = 4{,}4\ \text{мкм}.$