Волновая Оптика… — Задание 23 ЕГЭ по физике №00043163

Что тут происходит. Белый свет падает на дифракционную решётку, и она раскладывает его в спектры: в каждом порядке на экране получается радужная полоска от фиолетового до красного. Линза стоит вплотную к решётке и собирает параллельные пучки каждого цвета в точки на экране. Нужно найти ширину спектра третьего порядка.

Шаг 1 — период решётки. На $1$ см $=10^{-2}$ м приходится $400$ штрихов, поэтому расстояние между соседними штрихами $$d=\frac{10^{-2}}{400}=2{,}5\cdot10^{-5}\ \text{м}.$$

Шаг 2 — угол для каждого края. Свет данного цвета даёт главный максимум $k$-го порядка под углом, для которого $d\sin\varphi=k\lambda$. Для обоих краёв спектра третьего порядка $k=3$ одинаково, а длины волн разные: $\lambda_{\text{ф}}=4\cdot10^{-7}$ м и $\lambda_{\text{к}}=8\cdot10^{-7}$ м. Углы малы, поэтому $\varphi\approx\sin\varphi=\dfrac{3\lambda}{d}$.

Шаг 3 — положение на экране. Луч через центр линзы идёт не преломляясь, поэтому точка данного цвета смещена от центра экрана на $x=L\,\mathrm{tg}\,\varphi\approx L\varphi=\dfrac{3L\lambda}{d}$, где $L=2{,}5$ м — расстояние от линзы до экрана.

Шаг 4 — ширина спектра. Это расстояние между красным и фиолетовым краями одного и того же спектра, с одной стороны от центра: $$\Delta x=\frac{3L(\lambda_{\text{к}}-\lambda_{\text{ф}})}{d}=\frac{3\cdot2{,}5\cdot4\cdot10^{-7}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=\frac{3\cdot10^{-6}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=0{,}12\ \text{м}=12\ \text{см}.$$

Проверим себя по краям. Красный край: $x_{\text{к}}=\dfrac{3\cdot2{,}5\cdot8\cdot10^{-7}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=0{,}24$ м, фиолетовый вдвое ближе (длина волны вдвое меньше): $0{,}12$ м. Разность $0{,}12$ м. Угол для красного края: $\sin\varphi=\dfrac{3\cdot8\cdot10^{-7}}{2{,}5\cdot10^{-5}}\approx0{,}1$ — малый, приближение законно. Заметь ещё, что красный край второго порядка ($x=0{,}16$ м) лежит дальше фиолетового края третьего ($0{,}12$ м): спектры частично налезают друг на друга, но ширину мы считали по краям именно третьего порядка.