ID: 00017644
На поверхность стекла нанесена плёнка толщиной 120 нм с показателем, меньшим показателя преломления стекла. На плёнку по нормали к ней падает свет с длиной волны 600 нм. При каком минимальном значении показателя преломления $n_{\text{пл}}$ плёнка будет «просветляющей» (т. е. отражённые лучи практически полностью гасятся)?
Источник: ФИПИ
Толщина плёнки $d = 120$ нм. Длина волны падающего света $\lambda = 600$ нм. Показатель плёнки меньше показателя стекла. Свет падает по нормали. Найти минимальный показатель преломления плёнки $n_{\text{пл}}$, при котором она просветляющая.
Просветление — это когда два отражённых луча (от верхней и от нижней границы плёнки) гасят друг друга. Сверху отражается часть света от границы воздух–плёнка, снизу — от границы плёнка–стекло. Если они встретятся в противофазе, отражения почти не будет.
Скачки фазы. По условию показатели идут по возрастанию: воздух (1) меньше плёнки, плёнка меньше стекла. Значит, на обеих границах свет отражается от более плотной среды и обе волны теряют по полволны одинаково — этот скачок у них общий и сокращается. Остаётся только геометрическая разность хода.
Разность хода. Нижний луч проходит плёнку туда-обратно, лишний оптический путь $\Delta = 2 n_{\text{пл}} d$.
Чтобы отражённые лучи погасились, разность хода равна нечётному числу полуволн:
$2 n_{\text{пл}} d = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$, где $m = 0,\,1,\,2,\ldots$
Выразим показатель плёнки:
$n_{\text{пл}} = \dfrac{\left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda}{2 d}$.
Минимальному показателю отвечает наименьший номер $m = 0$:
$n_{\text{пл}} = \dfrac{0{,}5 \cdot 600}{2 \cdot 120} = \dfrac{300}{240} = 1{,}25$.
Проверим разумность: $1{,}25 \gt 1$ (больше воздуха) и меньше показателя стекла — условие задачи выполнено.
nпл = 1,25.
nпл = 1,25