Магнетизм (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00048322

Что тут происходит. Ток в проводе, лежащем поперёк горизонтального поля, создаёт вертикальную силу Ампера. При нужной силе тока она уравновешивает силу тяжести, и провод «висит», не давя на подставку. Ток нагревает провод — выделяется джоулева теплота. Надо найти, какая мощность выделяется в каждом кубометре провода.

Дано: $B=0{,}2$ Тл, $\lambda=0{,}028\ \text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м}=2{,}8\cdot10^{-8}\ \text{Ом}\cdot\text{м}$; из справочных данных плотность алюминия $\rho=2700\ \text{кг/м}^3$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $\dfrac{P}{V}$.

Шаг 1 — какая нужна плотность тока. Реакция подставки равна нулю, поэтому сила Ампера равна силе тяжести: $IBl=mg$. Масса однородного провода длиной $l$ и сечением $S$ равна $m=\rho Sl$, отсюда ток, приходящийся на единицу площади сечения (плотность тока):

$$j=\dfrac{I}{S}=\dfrac{\rho g}{B}=\dfrac{2700\cdot10}{0{,}2}=1{,}35\cdot10^{5}\ \text{А/м}^2.$$

Шаг 2 — мощность в проводе. Известны ток и сопротивление, поэтому удобна формула Джоуля–Ленца $P=I^2R$, где $R=\dfrac{\lambda l}{S}$. Объём провода $V=Sl$, значит,

$$\dfrac{P}{V}=\dfrac{I^2\lambda l}{S\cdot Sl}=\left(\dfrac{I}{S}\right)^2\lambda=j^2\lambda.$$

Шаг 3 — считаем:

$$\dfrac{P}{V}=\left(1{,}35\cdot10^{5}\right)^2\cdot2{,}8\cdot10^{-8}=1{,}8225\cdot10^{10}\cdot2{,}8\cdot10^{-8}\approx510\ \text{Вт/м}^3.$$

Проверим себя. Единицы: $\left(\dfrac{\text{А}}{\text{м}^2}\right)^2\cdot\text{Ом}\cdot\text{м}=\dfrac{\text{А}^2\cdot\text{Ом}}{\text{м}^3}=\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^3}$. Обратный ход: из $510$ Вт/м³ плотность тока $j=\sqrt{\dfrac{510}{2{,}8\cdot10^{-8}}}\approx1{,}35\cdot10^{5}$ А/м², и тогда $B=\dfrac{\rho g}{j}=\dfrac{27\,000}{1{,}35\cdot10^{5}}=0{,}2$ Тл — как в условии.