ID: 00026417
Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U=10 кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции \overset{\to}{B} (см. рисунок). Радиус траектории движения иона в магнитном поле R=0{,}2 м, отношение массы иона к его электрическому заряду \dfrac{m}{q}=5\cdot 10^{-7} кг/Кл. Определите значение модуля индукции магнитного поля. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.
Источник: ФИПИ
Посмотрим на рисунок и разберёмся, что происходит. Слева источник ионов, из него ион выходит практически без скорости. Дальше он проходит промежуток между двумя электродами, к которым приложено напряжение U=10 кВ, — там электрическое поле его разгоняет. Справа кружочками с точками обозначено однородное магнитное поле, направленное на нас, из плоскости рисунка; ион влетает в него перпендикулярно вектору индукции и идёт по дуге окружности радиусом R=0{,}2 м. Известно отношение массы иона к его заряду, найти надо индукцию поля.
Обоснуем модель. На участке разгона действует только электрическая сила, и её работа над зарядом равна qU. Начальной кинетической энергией по условию пренебрегаем, поэтому вся эта работа превращается в кинетическую энергию иона. В магнитном поле работает сила Лоренца; она в каждый момент перпендикулярна скорости, значит, не совершает работы и не меняет модуль скорости — она только заворачивает ион и потому играет роль центростремительной силы. Так и получается движение по окружности постоянного радиуса.
Шаг 1 — разгон в электрическом поле: qU=\frac{m\upsilon^{2}}{2}, где \upsilon — скорость иона на входе в магнитное поле. Отсюда \upsilon=\sqrt{\frac{2qU}{m}}.
Шаг 2 — движение по окружности. Скорость перпендикулярна вектору индукции, поэтому сила Лоренца равна q\upsilon B, и второй закон Ньютона даёт q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{m\upsilon}{qR}.
Шаг 3 — подставим скорость и соберём формулу так, чтобы в неё вошло именно отношение \dfrac{m}{q}, ведь только оно и известно: B=\frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2U m}{q}}. Разберись, как получилось последнее равенство: под корень внесли множитель \dfrac{m}{q} в квадрате, и \dfrac{m^{2}}{q^{2}}\cdot\dfrac{2qU}{m}=\dfrac{2Um}{q}.
Шаг 4 — считаем, переведя киловольты в вольты (U=10 кВ =10^{4} В): B=\frac{1}{0{,}2}\sqrt{2\cdot 10^{4}\cdot 5\cdot10^{-7}}=\frac{1}{0{,}2}\sqrt{10^{-2}}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5\ \text{Тл}.
Проверим себя, пройдя цепочку в обратную сторону: при \dfrac{m}{q}=5\cdot10^{-7} кг/Кл и U=10^{4} В скорость иона равна \upsilon=\sqrt{\dfrac{2U}{m/q}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot10^{4}}{5\cdot10^{-7}}}=2\cdot10^{5} м/с, тогда радиус R=\dfrac{(m/q)\upsilon}{B}=\dfrac{5\cdot10^{-7}\cdot 2\cdot10^{5}}{0{,}5}=0{,}2 м — ровно то, что дано в условии. Значит, ответ верный. Заодно заметь: полтеслы — это поле сильного лабораторного электромагнита, величина вполне реальная.
B=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{2U m}{q}}=0{,}5 Тл.