ID: 00026417
Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов $U=10$ кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции $\overset{\to}{B}$ (см. рисунок). Радиус траектории движения иона в магнитном поле $R=0{,}2$ м, отношение массы иона к его электрическому заряду $\dfrac{m}{q}=5\cdot 10^{-7}$ кг/Кл. Определите значение модуля индукции магнитного поля. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.
Источник: ФИПИ
Посмотрим на рисунок и разберёмся, что происходит. Слева источник ионов, из него ион выходит практически без скорости. Дальше он проходит промежуток между двумя электродами, к которым приложено напряжение $U=10$ кВ, — там электрическое поле его разгоняет. Справа кружочками с точками обозначено однородное магнитное поле, направленное на нас, из плоскости рисунка; ион влетает в него перпендикулярно вектору индукции и идёт по дуге окружности радиусом $R=0{,}2$ м. Известно отношение массы иона к его заряду, найти надо индукцию поля.
Обоснуем модель. На участке разгона действует только электрическая сила, и её работа над зарядом равна $qU$. Начальной кинетической энергией по условию пренебрегаем, поэтому вся эта работа превращается в кинетическую энергию иона. В магнитном поле работает сила Лоренца; она в каждый момент перпендикулярна скорости, значит, не совершает работы и не меняет модуль скорости — она только заворачивает ион и потому играет роль центростремительной силы. Так и получается движение по окружности постоянного радиуса.
Шаг 1 — разгон в электрическом поле: $$qU=\frac{m\upsilon^{2}}{2},$$ где $\upsilon$ — скорость иона на входе в магнитное поле. Отсюда $$\upsilon=\sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$
Шаг 2 — движение по окружности. Скорость перпендикулярна вектору индукции, поэтому сила Лоренца равна $q\upsilon B$, и второй закон Ньютона даёт $$q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{m\upsilon}{qR}.$$
Шаг 3 — подставим скорость и соберём формулу так, чтобы в неё вошло именно отношение $\dfrac{m}{q}$, ведь только оно и известно: $$B=\frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2U m}{q}}.$$ Разберись, как получилось последнее равенство: под корень внесли множитель $\dfrac{m}{q}$ в квадрате, и $\dfrac{m^{2}}{q^{2}}\cdot\dfrac{2qU}{m}=\dfrac{2Um}{q}$.
Шаг 4 — считаем, переведя киловольты в вольты ($U=10$ кВ $=10^{4}$ В): $$B=\frac{1}{0{,}2}\sqrt{2\cdot 10^{4}\cdot 5\cdot10^{-7}}=\frac{1}{0{,}2}\sqrt{10^{-2}}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5\ \text{Тл}.$$
Проверим себя, пройдя цепочку в обратную сторону: при $\dfrac{m}{q}=5\cdot10^{-7}$ кг/Кл и $U=10^{4}$ В скорость иона равна $\upsilon=\sqrt{\dfrac{2U}{m/q}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot10^{4}}{5\cdot10^{-7}}}=2\cdot10^{5}$ м/с, тогда радиус $R=\dfrac{(m/q)\upsilon}{B}=\dfrac{5\cdot10^{-7}\cdot 2\cdot10^{5}}{0{,}5}=0{,}2$ м — ровно то, что дано в условии. Значит, ответ верный. Заодно заметь: полтеслы — это поле сильного лабораторного электромагнита, величина вполне реальная.
$B=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{2U m}{q}}=0{,}5$ Тл.