Магнетизм (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026428

Разложим задачу на два этапа. Сначала ион разгоняется: он проходит ускоряющую разность потенциалов $U=10^{3}$ В и набирает скорость. Затем он попадает в однородное магнитное поле и движется там по окружности радиусом $R=0{,}3$ м. Известны заряд и масса иона, известен радиус — надо найти индукцию поля. План: скорость после разгона, потом связь скорости с радиусом.

Обоснуем модель. На участке разгона электрическое поле совершает над ионом работу $A=qU$; начальной скорости нет, установка в вакууме (значит, ничего не теряется на столкновения с молекулами), силой тяжести условие разрешает пренебречь — поэтому вся работа переходит в кинетическую энергию. В магнитном поле работает сила Лоренца: она перпендикулярна скорости, работы не совершает и модуль скорости не меняет, а только заворачивает ион. Раз траектория — окружность, значит, ион влетел перпендикулярно линиям индукции, и сила Лоренца равна $q\upsilon B$, играя роль центростремительной силы.

Шаг 1 — скорость после разгона: $$qU=\frac{m\upsilon^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad \upsilon=\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 10^{3}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{\frac{6{,}4\cdot10^{-16}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{4{,}27\cdot10^{9}}\approx 6{,}5\cdot10^{4}\ \text{м/с},$$ где $\upsilon$ — скорость иона при входе в магнитное поле.

Шаг 2 — движение по окружности. Второй закон Ньютона: $$q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{m\upsilon}{qR}.$$

Шаг 3 — подставим числа: $$B=\frac{1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 6{,}5\cdot10^{4}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 0{,}3}=\frac{9{,}8\cdot10^{-21}}{9{,}6\cdot10^{-20}}\approx 0{,}1\ \text{Тл}.$$

Полезно уметь собирать и одну итоговую формулу, чтобы не тащить округлённую скорость сквозь всё решение. Подставим $\upsilon=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$ в $B=\dfrac{m\upsilon}{qR}$: $$B=\frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$ Считаем: $\dfrac{2\cdot 1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 10^{3}}{3{,}2\cdot10^{-19}}=9{,}375\cdot10^{-4}$, корень равен $3{,}06\cdot10^{-2}$, делим на $0{,}3$ — получаем $0{,}102$ Тл, то есть примерно те же $0{,}1$ Тл.

И всё логично: около одной десятой теслы — умеренное поле, такое даёт небольшой лабораторный электромагнит. Заметь общую закономерность формулы: чтобы завернуть более тяжёлый или сильнее разогнанный ион в кольцо того же радиуса, поле нужно сильнее, а чем больше радиус, тем слабее требуется поле.