Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048319

Что здесь происходит. Через блок перекинута нить, на концах — гири $7$ кг и $11$ кг. Тяжёлая гиря перевешивает и опускается, лёгкая поднимается. Гири стартуют из покоя и разгоняются. Нужно найти, за какое время каждая пройдёт $10$ см.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с Землёй (с неподвижным блоком), считаем инерциальной — в ней применим второй закон Ньютона. Гири движутся поступательно, их считаем материальными точками. Нить считаем невесомой и нерастяжимой, а блок — идеальным (невесомым, без трения в оси), хотя в условии это прямо не сказано: только тогда натяжение нити по обе стороны блока одинаково, а ускорения гирь равны по модулю (насколько опустилась одна гиря, настолько поднялась другая). Силы, действующие на гири, постоянны, поэтому движение равноускоренное; сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Рисунок сил. На каждую гирю действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения нити $\vec T$ (вверх): на лёгкую — $m_1\vec g$ и $\vec T$, на тяжёлую — $m_2\vec g$ и $\vec T$. Ускорение лёгкой гири направлено вверх, тяжёлой — вниз.

Шаг 1 — второй закон Ньютона для каждой гири. Пусть $m_1=7$ кг, $m_2=11$ кг. Ось для каждой гири направим по её ускорению:

$$m_1a=T-m_1g,\qquad m_2a=m_2g-T.$$

Шаг 2 — ускорение. Сложим уравнения, натяжение исчезнет:

$$(m_1+m_2)a=(m_2-m_1)g\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}=\dfrac{4\cdot10}{18}=\dfrac{20}{9}\approx2{,}22\ \text{м/с}^2.$$

Шаг 3 — время. Гири стартуют из покоя, путь $S=10$ см $=0{,}1$ м:

$$S=\dfrac{at^2}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\dfrac{2S}{a}}=\sqrt{\dfrac{2S(m_1+m_2)}{g(m_2-m_1)}}=\sqrt{\dfrac{0{,}2\cdot9}{20}}=\sqrt{0{,}09}=0{,}3\ \text{с}.$$

Проверим себя. Натяжение из уравнения лёгкой гири: $T=m_1(g+a)=7\cdot(10+2{,}22)\approx85{,}6$ Н. Подставим в уравнение тяжёлой: $m_2g-T=110-85{,}6=24{,}4$ Н, а $m_2a=11\cdot2{,}22\approx24{,}4$ Н — сходится. И по смыслу: если бы лёгкой гири не было, тяжёлая падала бы свободно и прошла бы $10$ см за $\sqrt{\dfrac{0{,}2}{10}}\approx0{,}14$ с; если бы гири были одинаковыми, они бы вообще не тронулись. Наш ответ $0{,}3$ с лежит между этими крайностями.