Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048318

Что здесь происходит. Пока вал не вращается, грузик висит на нити вдоль вала. Когда вал раскручивают, грузик увлекается за ним, отходит от оси, нить отклоняется от вертикали, и грузик начинает ездить по горизонтальной окружности — получается конический маятник. Нужно найти кинетическую энергию грузика, когда вал вращается с угловой скоростью $40\ \text{с}^{-1}$.

Какие законы и почему. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной и применяем второй закон Ньютона. Грузик маленький — материальная точка. Нить невесомая и нерастяжимая: она тянет грузик вдоль себя, а грузик всё время находится на расстоянии $l$ от точки подвеса. Раскрутка медленная, поэтому в каждый момент движение грузика можно считать равномерным вращением по горизонтальной окружности, а к концу раскрутки грузик вращается вместе с валом с той же угловой скоростью $\omega$; его ускорение — центростремительное, $\omega^2 r$, направлено горизонтально к оси. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Рисунок сил. На грузик действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз) и сила натяжения нити $\vec T$ (вдоль нити к точке подвеса). Нить составляет угол $\theta$ с вертикалью, радиус окружности $r=l\sin\theta$.

Шаг 1 — горизонталь. Горизонтальная составляющая натяжения создаёт центростремительное ускорение:

$$T\sin\theta=m\omega^2 r=m\omega^2 l\sin\theta\quad\Rightarrow\quad T=m\omega^2 l.$$

Синус сократился — натяжение не зависит от угла: $T=0{,}01\cdot40^2\cdot0{,}2=3{,}2$ Н.

Шаг 2 — вертикаль. Ускорения по вертикали нет:

$$T\cos\theta=mg\quad\Rightarrow\quad\cos\theta=\dfrac{mg}{T}=\dfrac{g}{\omega^2 l}=\dfrac{10}{1600\cdot0{,}2}=\dfrac{1}{32}\approx0{,}031.$$

Нить почти горизонтальна (угол с вертикалью около $88^\circ$): сила тяжести $0{,}1$ Н мала по сравнению с натяжением $3{,}2$ Н.

Шаг 3 — кинетическая энергия. Скорость грузика $v=\omega r=\omega l\sin\theta$, а $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\dfrac{1}{1024}\approx0{,}999$:

$$E_{\text{к}}=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{m\omega^2l^2\sin^2\theta}{2}=\dfrac{0{,}01\cdot1600\cdot0{,}04\cdot0{,}999}{2}\approx0{,}32\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. Конический маятник возможен, только если $\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l}\lt1$, то есть $\omega\gt\sqrt{\dfrac{g}{l}}=\sqrt{50}\approx7{,}1\ \text{с}^{-1}$; у нас $40\ \text{с}^{-1}$ — с большим запасом. Скорость грузика $v\approx40\cdot0{,}2=8$ м/с, и $\dfrac{0{,}01\cdot8^2}{2}=0{,}32$ Дж — сходится. Обрати внимание: спрашивают только кинетическую энергию; работа электропривода больше, потому что грузик ещё и поднялся на $l(1-\cos\theta)\approx0{,}19$ м.