Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048317

Что здесь происходит. Поворот «завален» внутрь. При скорости $120$ км/ч наклон подобран так, что машину по кругу ведут только сила тяжести и реакция дороги — трение не нужно. Если ехать быстрее, этих двух сил не хватает, и машину тянет наружу. Её удерживает трение колёс, но оно не бесконечно: при некоторой скорости трение достигает максимума, и автомобиль сносит. Эту скорость и ищем.

Какие законы и почему. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней применим второй закон Ньютона. Размеры автомобиля много меньше радиуса поворота $300$ м, поэтому автомобиль — материальная точка. Он едет с постоянной по модулю скоростью по горизонтальной окружности, значит, его ускорение — центростремительное, $\dfrac{v^2}{R}$, направлено горизонтально к центру поворота (а не вдоль склона). Колёса не проскальзывают поперёк дороги, пока сила трения покоя не превысит своего максимума $\mu N$; в момент начала скольжения она равна $\mu N$. По условию у трения в этот момент нет составляющей вдоль движения, поэтому вся сила $\mu N$ направлена поперёк дороги.

Рисунок сил (в поперечном сечении поворота). Сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз; сила реакции $\vec N$ — перпендикулярно полотну; сила трения $\vec F_{\text{тр}}$ — вдоль полотна. Ось $x$ — горизонтально к центру поворота, ось $y$ — вертикально вверх.

Шаг 1 — угол наклона из первого режима. Трения нет: по вертикали $N_0\cos\alpha=mg$, по горизонтали $N_0\sin\alpha=\dfrac{mv^2}{R}$. Делим одно на другое:

$$\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{v^2}{gR}.$$

Переведём скорость: $v=\dfrac{120}{3{,}6}\approx33{,}3$ м/с. Тогда $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{33{,}3^2}{10\cdot300}=\dfrac{1111}{3000}\approx0{,}370$ (угол около $20^\circ$).

Шаг 2 — куда направлено трение при выбросе наружу. Автомобиль стремится съехать вверх по склону, наружу поворота, поэтому трение направлено вниз по склону, к внутренней стороне. Его горизонтальная составляющая ($F_{\text{тр}}\cos\alpha$) помогает удерживать машину на окружности, а вертикальная ($F_{\text{тр}}\sin\alpha$) направлена вниз.

Шаг 3 — второй закон Ньютона на пороге скольжения, $F_{\text{тр}}=\mu N$:

$$Oy:\ N\cos\alpha-\mu N\sin\alpha=mg,\qquad Ox:\ N\sin\alpha+\mu N\cos\alpha=\dfrac{mv_{\text{м}}^2}{R}.$$

Разделим второе уравнение на первое — сила реакции и масса уйдут из ответа:

$$\dfrac{v_{\text{м}}^2}{gR}=\dfrac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha+\mu}{1-\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha}.$$

Шаг 4 — числа. $\dfrac{0{,}370+0{,}8}{1-0{,}8\cdot0{,}370}=\dfrac{1{,}170}{0{,}704}\approx1{,}663$.

$$v_{\text{м}}=\sqrt{1{,}663\cdot10\cdot300}\approx\sqrt{4989}\approx70{,}6\ \text{м/с}\approx254\ \text{км/ч}.$$

Проверим себя. При $\mu=0$ формула даёт $v_{\text{м}}^2=gR\,\mathrm{tg}\,\alpha=v^2$ — без трения «держит» только скорость первого режима, как и должно быть. С трением допустимая скорость выросла — тоже логично. Заметим ещё: из первого уравнения $N=\dfrac{mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}$ больше, чем $\dfrac{mg}{\cos\alpha}$ без трения, — трение, направленное вниз по склону, сильнее прижимает машину к дороге. Если бы $\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha$ достигло единицы, знаменатель обратился бы в ноль: такой поворот не выбрасывал бы машину ни при какой скорости.