МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048311

Что здесь происходит. Один и тот же пузырёк воздуха побывал на двух глубинах. На глубине $10$ м его объём был $15\ \text{мм}^3$, а на неизвестной глубине $H$ — всего $12\ \text{мм}^3$: там его сильнее сжала вода. По тому, во сколько раз изменился объём, найдём, во сколько раз изменилось давление, а по давлению — глубину.

Дано: $V_1=12\ \text{мм}^3$ (на глубине $H$), $V_2=15\ \text{мм}^3$ (на глубине $h=10$ м), $p_0=10^5$ Па, $\rho=1000$ кг/м³ (пресная вода), $g=10$ м/с². Найти: $H$.

Шаг 1 — давление на пузырёк. Поверхностное натяжение не учитываем, поэтому давление воздуха в пузырьке равно давлению воды вокруг него. А давление воды на глубине складывается из атмосферного давления над озером и давления столба воды:

$$p=p_0+\rho g\cdot(\text{глубина}).$$

На глубине $h=10$ м: $p_2=10^5+1000\cdot10\cdot10=10^5+10^5=2\cdot10^5$ Па — вдвое больше атмосферного.

Шаг 2 — закон Бойля — Мариотта. Масса воздуха в пузырьке и его температура не меняются, поэтому произведение давления на объём постоянно:

$$p_1V_1=p_2V_2\quad\Rightarrow\quad p_1=p_2\,\dfrac{V_2}{V_1}=2\cdot10^5\cdot\dfrac{15}{12}=2\cdot10^5\cdot1{,}25=2{,}5\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Объёмы входят отношением, поэтому кубические миллиметры можно не переводить.

Шаг 3 — глубина. На глубине $H$ давление $p_1=p_0+\rho gH$, отсюда

$$H=\dfrac{p_1-p_0}{\rho g}=\dfrac{2{,}5\cdot10^5-10^5}{1000\cdot10}=\dfrac{1{,}5\cdot10^5}{10^4}=15\ \text{м}.$$

В общем виде $H=\dfrac{V_2(p_0+\rho gh)-V_1p_0}{\rho gV_1}$.

Проверим себя. На глубине $15$ м давление $10^5+1{,}5\cdot10^5=2{,}5\cdot10^5$ Па, произведение $2{,}5\cdot10^5\cdot12=3\cdot10^6$; на глубине $10$ м — $2\cdot10^5\cdot15=3\cdot10^6$. Произведения совпали, закон Бойля — Мариотта выполнен. И направление верное: меньший объём — на большей глубине, $15\ \text{м}\gt10$ м. Заметь: $H$ — это расстояние от поверхности озера, а не то, насколько пузырёк был глубже точки $10$ м.

Почему модель законна. Воздух в пузырьке — идеальный газ постоянной массы, температура воды и воздуха постоянна, значит процесс изотермический. Поверхностное натяжение не учитываем, поэтому давление внутри пузырька равно давлению окружающей воды. Вода покоится, и давление в ней растёт с глубиной линейно.