МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048310

Что здесь происходит. Тяжёлый поршень делит закрытый сосуд на верхнюю и нижнюю части. Снизу газ должен держать не только давление верхнего газа, но и вес поршня, поэтому внизу давление больше. Из верхней части выпустили часть воздуха — давление сверху упало, нижний газ расширился и приподнял поршень. Нужно найти, как теперь поделён объём.

Дано: в каждой части $\nu=3$ моль, $\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=\dfrac{4}{3}$, из верхней части удалили $\Delta\nu=\dfrac{25}{12}$ моль, $T=\text{const}$. Найти: $\dfrac{V_{\text{в}}'}{V_{\text{н}}'}$.

Шаг 1 — удобная единица объёма. Разделим весь объём сосуда на $7$ равных долей $V_0$. В начале верхняя часть занимает $4V_0$, нижняя — $3V_0$. Сосуд закрыт, поэтому сумма объёмов частей всё время равна $7V_0$.

Шаг 2 — начальные давления. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$. Обозначим $C=\dfrac{RT}{V_0}$ — это давление, которое создал бы $1$ моль газа в одной доле объёма. Тогда

$$p_{\text{в}}=\dfrac{3RT}{4V_0}=\dfrac{3}{4}C,\qquad p_{\text{н}}=\dfrac{3RT}{3V_0}=C.$$

Шаг 3 — вес поршня. Поршень в равновесии: снизу на него давит газ с силой $p_{\text{н}}S$, сверху — газ с силой $p_{\text{в}}S$ и сила тяжести $mg$. Значит,

$$p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\dfrac{mg}{S}=C-\dfrac{3}{4}C=\dfrac{1}{4}C.$$

Масса поршня и его площадь не меняются, поэтому в новом равновесии разность давлений будет той же: $\dfrac{1}{4}C$.

Шаг 4 — новое состояние. Сверху осталось $3-\dfrac{25}{12}=\dfrac{36-25}{12}=\dfrac{11}{12}$ моль, снизу по-прежнему $3$ моль. Пусть нижняя часть теперь занимает $xV_0$, тогда верхняя — $(7-x)V_0$. Давления:

$$p_{\text{н}}'=\dfrac{3}{x}C,\qquad p_{\text{в}}'=\dfrac{11}{12(7-x)}C.$$

Условие равновесия поршня:

$$\dfrac{3}{x}-\dfrac{11}{12(7-x)}=\dfrac{1}{4}.$$

Умножим обе части на $12x(7-x)$:

$$36(7-x)-11x=3x(7-x)\quad\Rightarrow\quad252-47x=21x-3x^2\quad\Rightarrow\quad3x^2-68x+252=0.$$

Шаг 5 — корни. Дискриминант $68^2-4\cdot3\cdot252=4624-3024=1600$, $\sqrt{1600}=40$:

$$x=\dfrac{68\pm40}{6},\qquad x_1=18,\quad x_2=\dfrac{28}{6}=\dfrac{14}{3}.$$

Корень $x=18$ не годится: нижняя часть не может быть больше всего сосуда ($7$ долей). Остаётся $x=\dfrac{14}{3}$, тогда верхняя часть $7-\dfrac{14}{3}=\dfrac{7}{3}$ доли, и

$$\dfrac{V_{\text{в}}'}{V_{\text{н}}'}=\dfrac{7/3}{14/3}=\dfrac{1}{2}.$$

Проверим себя. Новые давления: снизу $\dfrac{3}{14/3}C=\dfrac{9}{14}C$, сверху $\dfrac{11}{12\cdot7/3}C=\dfrac{11}{28}C$. Разность $\dfrac{18}{28}C-\dfrac{11}{28}C=\dfrac{7}{28}C=\dfrac{1}{4}C$ — та же, что вначале. И направление разумное: сверху газа стало меньше, поршень поднялся, верхняя часть сжалась с $4$ до $\dfrac{7}{3}$ долей.

Почему модель законна. Воздух в каждой части — идеальный газ, температура одинакова и постоянна. Новое состояние — равновесное («через длительный промежуток времени»), поэтому поршень покоится и силы на него уравновешены. Трения нет, сосуд закрыт и жёсткий: сумма объёмов частей постоянна.