Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048309

Что здесь происходит. Гелий греют в два этапа: сначала при постоянном давлении (газ расширяется), потом при постоянном объёме. Общий нагрев известен — от $100$ до $300$ К, а где проходит граница между этапами, не сказано. Зато известно, что первый этап потребовал вдвое больше теплоты, чем второй. Это условие и позволит найти промежуточную температуру, а за ней — теплоту первого этапа.

Дано: $T_0=100$ К, $p_0=10$ кПа $=10^4$ Па, $V_0=0{,}25$ м³, $T_1=300$ К, $Q_p=mQ_V$, где $m=2$ — число (во сколько раз), а не масса. Найти: $Q_p$.

Шаг 1 — обозначим промежуточную температуру. Пусть после изобарного этапа гелий имеет температуру $T$. Тогда изобарный этап греет газ от $T_0$ до $T$, а изохорный — от $T$ до $T_1$.

Шаг 2 — теплота на изохоре. Объём постоянен, газ работы не совершает, и по первому закону термодинамики вся теплота идёт на рост внутренней энергии. Гелий одноатомный, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, поэтому

$$Q_V=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_1-T).$$

Шаг 3 — теплота на изобаре. Здесь газ ещё и расширяется, совершая работу $A=p\Delta V=\nu R\,\Delta T$. По первому закону $Q=\Delta U+A$:

$$Q_p=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T-T_0)+\nu R\,(T-T_0)=\dfrac{5}{2}\nu R\,(T-T_0).$$

Шаг 4 — промежуточная температура из условия «в $2$ раза»:

$$\dfrac{5}{2}\nu R\,(T-T_0)=m\cdot\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_1-T)\quad\Rightarrow\quad5(T-T_0)=3m(T_1-T)\quad\Rightarrow\quad T=\dfrac{5T_0+3mT_1}{5+3m}.$$

$$T=\dfrac{5\cdot100+3\cdot2\cdot300}{5+6}=\dfrac{500+1800}{11}=\dfrac{2300}{11}\approx209{,}1\ \text{К}.$$

Шаг 5 — произведение $\nu R$. Количество вещества не дано, но его заменяет начальное состояние: $p_0V_0=\nu RT_0$, откуда

$$\nu R=\dfrac{p_0V_0}{T_0}=\dfrac{10^4\cdot0{,}25}{100}=25\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}.$$

Шаг 6 — теплота изобарного нагрева:

$$Q_p=\dfrac{5}{2}\nu R\,(T-T_0)=\dfrac{5}{2}\cdot25\cdot\left(\dfrac{2300}{11}-100\right)=62{,}5\cdot\dfrac{1200}{11}=\dfrac{75\,000}{11}\approx6818\ \text{Дж}\approx6{,}8\ \text{кДж}.$$

В общем виде $Q_p=\dfrac{15mp_0V_0(T_1-T_0)}{2(5+3m)T_0}$; при $m=2$ это $\dfrac{15p_0V_0(T_1-T_0)}{11T_0}$.

Проверим себя. Теплота изохорного этапа $Q_V=\dfrac{3}{2}\cdot25\cdot\left(300-\dfrac{2300}{11}\right)=37{,}5\cdot\dfrac{1000}{11}\approx3409$ Дж — ровно вдвое меньше $6818$ Дж. Промежуточная температура $209$ К лежит между $100$ и $300$ К, причём выше середины: каждый градус изобарного нагрева в $\dfrac{5}{3}$ раза «дороже» изохорного, а теплоты отличаются в $2$ раза, так что изобарный этап должен быть длиннее по температуре в $2\cdot\dfrac{3}{5}=1{,}2$ раза: $109{,}1\approx1{,}2\cdot90{,}9$.

Почему модель законна. Гелий — одноатомный газ, считаем его идеальным, масса постоянна (сосуд замкнут). Процессы медленные, равновесные, поэтому к каждому этапу применимы уравнение состояния и первый закон термодинамики; потерь теплоты на нагрев сосуда нет.