МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048308

Что здесь происходит. Было два одинаковых сосуда: в одном углекислый газ, в другом азот. Оба газа перекачали в третий сосуд такого же объёма $V$. Газы не реагируют друг с другом и перемешиваются. Нужно найти давление смеси при $300$ К.

Дано: $\rho_1=44\cdot10^{-3}$ кг/м³ (углекислый газ $\text{CO}_2$), $\rho_2=56\cdot10^{-3}$ кг/м³ (азот $\text{N}_2$), объёмы всех сосудов равны $V$, $T=300$ К. Найти: $p$.

Шаг 1 — плотность каждого газа в новом сосуде. Масса углекислого газа не изменилась, и занимает он теперь такой же объём $V$, как раньше. Значит, его плотность в новом сосуде та же, $\rho_1$. Точно так же у азота осталась плотность $\rho_2$: соседство с другим газом его массу и объём не меняет.

Шаг 2 — давление одного газа через плотность. Разделим уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$ на объём. Отношение $\dfrac{m}{V}$ — это плотность, поэтому

$$p=\dfrac{\rho}{\mu}RT.$$

Так каждый газ давил бы на стенки, если бы был в сосуде один. Это его парциальное давление.

Шаг 3 — молярные массы. Молекула углекислого газа $\text{CO}_2$: $12+2\cdot16=44$ г/моль, то есть $\mu_1=44\cdot10^{-3}$ кг/моль. Азот в баллоне — молекулы $\text{N}_2$, а не отдельные атомы: $\mu_2=2\cdot14=28$ г/моль $=28\cdot10^{-3}$ кг/моль.

Шаг 4 — сколько молей каждого газа в кубометре:

$$\dfrac{\rho_1}{\mu_1}=\dfrac{44\cdot10^{-3}}{44\cdot10^{-3}}=1\ \dfrac{\text{моль}}{\text{м}^3},\qquad \dfrac{\rho_2}{\mu_2}=\dfrac{56\cdot10^{-3}}{28\cdot10^{-3}}=2\ \dfrac{\text{моль}}{\text{м}^3}.$$

Азота по массе на кубометр больше всего в $\dfrac{56}{44}\approx1{,}3$ раза, а по числу молекул — вдвое: его молекулы легче.

Шаг 5 — закон Дальтона. Газы разреженные и не взаимодействуют, поэтому давление смеси равно сумме парциальных давлений:

$$p=p_1+p_2=RT\left(\dfrac{\rho_1}{\mu_1}+\dfrac{\rho_2}{\mu_2}\right)=8{,}31\cdot300\cdot(1+2)=2493\cdot3=7479\ \text{Па}\approx7{,}5\ \text{кПа}.$$

Проверим себя другим способом — через концентрацию молекул и формулу $p=nkT$. В кубометре $1+2=3$ моль молекул, то есть $n=3\cdot6{,}02\cdot10^{23}\approx1{,}81\cdot10^{24}$ м⁻³. Тогда $p=nkT=1{,}81\cdot10^{24}\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300\approx7{,}5\cdot10^3$ Па — то же самое. Размерность: $\dfrac{\text{кг/м}^3}{\text{кг/моль}}\cdot\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot\text{К}=\dfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3}=\text{Па}$.

Почему модель законна. Оба газа считаем идеальными: при таких плотностях (в десятки раз меньше, чем у воздуха) молекулы почти не взаимодействуют. Химической реакции между углекислым газом и азотом нет, поэтому количество каждого газа сохраняется, и для смеси работает закон Дальтона. Температура смеси установилась и равна $300$ К.