Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048299

Что здесь происходит. Конденсатор давно подключён, зарядка закончилась. Нужно понять, к каким точкам схемы он на самом деле присоединён и какое напряжение между этими точками, — тогда энергию даст формула $W=\dfrac{CU^2}{2}$.

Дано: $C=4$ мкФ $=4\cdot10^{-6}$ Ф, $\mathcal{E}=3$ В, $r=2$ Ом, $R=3$ Ом; по рисунку резисторы $R$, $2R$, $3R$, $4R$, $5R$. Найти: энергию конденсатора $W$.

Шаг 1 — читаем схему. Источник стоит сверху. От его левого вывода ток идёт вниз через $R$ к левому среднему узлу, от правого — через $3R$ к правому среднему узлу. Между средними узлами включён резистор $2R$. Ниже этих же узлов висит вторая ветвь: $4R$, конденсатор $C$ и $5R$ последовательно. Значит, ветвь «$4R$ — $C$ — $5R$» подключена к концам резистора $2R$.

Шаг 2 — ветвь с конденсатором. Заряженный конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому в ветви «$4R$ — $C$ — $5R$» тока нет. По закону Ома напряжение на $4R$ и на $5R$ равно $IR=0$. Всё напряжение между средними узлами приходится на конденсатор: $U_C=U_{2R}$.

Шаг 3 — ток источника. Ток идёт по одному пути: $r$, $R$, $2R$, $3R$ — последовательно. По закону Ома для полной цепи

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R+2R+3R}=\dfrac{\mathcal{E}}{r+6R}=\dfrac{3}{2+18}=0{,}15\ \text{А}.$$

Шаг 4 — напряжение на конденсаторе. По закону Ома для участка

$$U_C=I\cdot2R=0{,}15\cdot6=0{,}9\ \text{В}.$$

Шаг 5 — энергия конденсатора:

$$W=\dfrac{CU_C^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-6}\cdot0{,}9^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-6}\cdot0{,}81}{2}=1{,}62\cdot10^{-6}\ \text{Дж}=1{,}62\ \text{мкДж}.$$

В общем виде: $W=\dfrac{C}{2}\left(\dfrac{2R\mathcal{E}}{r+6R}\right)^2=\dfrac{2CR^2\mathcal{E}^2}{(r+6R)^2}$.

Проверим себя. Обойдём контур: на $r$ падает $0{,}15\cdot2=0{,}3$ В, на $R$ — $0{,}45$ В, на $2R$ — $0{,}9$ В, на $3R$ — $1{,}35$ В; сумма $0{,}3+0{,}45+0{,}9+1{,}35=3$ В — это ЭДС. Через заряд: $q=CU_C=3{,}6$ мкКл, $W=\dfrac{qU_C}{2}=\dfrac{3{,}6\cdot0{,}9}{2}=1{,}62$ мкДж — сходится.

Почему модель законна. Режим установившийся (схема давно собрана), провода без сопротивления, конденсатор идеальный — постоянного тока через него нет. Резисторы считаем постоянными, источник — с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.