Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048261

Что здесь происходит. Цепь похожа на дерево: на первом «шаге» один резистор, на втором — два, на третьем — четыре, на $k$-м — $2^{k-1}$. Каждый резистор раздваивается в два одинаковых. Чтобы найти мощность одного резистора четвёртого шага, нужен ток через него, а для этого — ток через батарею, то есть сопротивление всего дерева.

Дано: $R=10$ Ом, $\mathcal{E}=12$ В, батарея идеальная, $N\gg1$. Найти: $P_{44}$ — мощность в резисторе 4-го шага.

Шаг 1 — симметрия. Все ветви дерева одинаковы, поэтому правые концы всех резисторов одного шага имеют одинаковый потенциал. Их можно мысленно соединить проводом — токи от этого не изменятся. Тогда каждый шаг — это $2^{k-1}$ одинаковых резисторов, соединённых параллельно, а сами шаги соединены друг за другом последовательно.

Шаг 2 — сопротивление шага и всей цепи. У $n$ одинаковых параллельных резисторов сопротивление $\dfrac{R}{n}$, поэтому $k$-й шаг имеет сопротивление $\dfrac{R}{2^{k-1}}$. Всё дерево:

$$R_{\text{общ}}=R\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots\right)=R\cdot\dfrac{1-2^{-N}}{1-\dfrac{1}{2}}\approx2R=20\ \text{Ом}.$$

Сумма геометрической прогрессии при $N\gg1$ почти равна $2$: добавка $2^{-N}$ ничтожна. Бесконечно много резисторов не дают бесконечного сопротивления — каждый следующий шаг вдвое «тоньше» по сопротивлению.

Шаг 3 — ток через батарею. Батарея идеальная, поэтому

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{общ}}}=\dfrac{12}{20}=0{,}6\ \text{А}.$$

Шаг 4 — ток через резистор 4-го шага. В каждом узле ток делится пополам (обе ветви одинаковы). До 4-го шага ток делился три раза — после 1-го, 2-го и 3-го шагов:

$$I_4=\dfrac{I}{2^3}=\dfrac{0{,}6}{8}=0{,}075\ \text{А}.$$

То, что резистор «четвёртый сверху», значения не имеет: все $8$ резисторов 4-го шага одинаковы.

Шаг 5 — мощность:

$$P_{44}=I_4^2R=0{,}075^2\cdot10=0{,}005625\cdot10=0{,}05625\ \text{Вт}=56{,}25\ \text{мВт}.$$

Проверим себя. Мощность целого $k$-го шага: $I^2\cdot\dfrac{R}{2^{k-1}}$ — каждый шаг потребляет вдвое меньше предыдущего, а в сумме $I^2\cdot2R=0{,}36\cdot20=7{,}2$ Вт $=\mathcal{E}I=12\cdot0{,}6$ — сходится. Четвёртый шаг целиком: $\dfrac{0{,}36\cdot10}{8}=0{,}45$ Вт, на $8$ резисторов — по $56{,}25$ мВт. А по одному резистору мощность падает от шага к шагу в $4$ раза (ток вдвое, мощность — как квадрат тока): $3{,}6$ Вт $\to0{,}9\to0{,}225\to0{,}05625$ Вт.

Почему модель законна. Батарея идеальная (внутреннего сопротивления нет), резисторы одинаковые и постоянные, сопротивлением проводов и ключа пренебрегаем; из-за полной симметрии дерева правые концы резисторов одного шага эквипотенциальны, поэтому дерево можно считать цепочкой последовательных шагов из параллельных резисторов; $N\gg1$ позволяет заменить конечную сумму прогрессии её пределом.