Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048269

Что здесь происходит. Реальные приборы сами немного меняют цепь: у амперметра есть сопротивление $R_A$, и на нём «теряется» часть ЭДС, а вольтметр забирает часть тока в свою ветвь. Нужно сравнить мощность, которая на самом деле выделяется в резисторе в собранной схеме ($P$), с мощностью, которая выделялась бы, будь приборы идеальными ($P_0$).

Дано: $R=1$ кОм $=1000$ Ом, $\mathcal{E}=12$ В, внутреннее сопротивление аккумулятора мало ($\approx0$), $R_V=20$ кОм $=20\,000$ Ом, $R_A=1$ Ом. Найти: на сколько процентов $P_0$ отличается от $P$.

Шаг 1 — что такое $P$. Вольтметр подключён параллельно резистору, поэтому он показывает ровно напряжение на резисторе $U$. Мощность, выделяющаяся в резисторе, $P=\dfrac{U^2}{R}$. Произведение показаний $U\cdot I$ брать нельзя: амперметр стоит до разветвления и показывает ток резистора вместе с током вольтметра.

Шаг 2 — что такое $P_0$. Идеальный амперметр не имеет сопротивления, идеальный вольтметр не берёт тока. Тогда резистор подключён прямо к аккумулятору, напряжение на нём равно ЭДС:

$$P_0=\dfrac{\mathcal{E}^2}{R}=\dfrac{12^2}{1000}=0{,}144\ \text{Вт}.$$

Шаг 3 — напряжение на резисторе в реальной схеме. Резистор и вольтметр параллельно:

$$R_{\parallel}=\dfrac{RR_V}{R+R_V}=\dfrac{1000\cdot20\,000}{21\,000}\approx952{,}38\ \text{Ом}.$$

Ток через аккумулятор и амперметр по закону Ома для полной цепи:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\parallel}+R_A}=\dfrac{12}{953{,}38}\approx0{,}012587\ \text{А}.$$

Напряжение на резисторе — это ЭДС минус падение на амперметре:

$$U=\mathcal{E}-IR_A=12-0{,}012587\cdot1\approx11{,}98741\ \text{В}.$$

Здесь важно не округлять: всё различие сидит в четвёртом знаке.

Шаг 4 — мощность и проценты:

$$P=\dfrac{U^2}{R}=\dfrac{11{,}98741^2}{1000}\approx0{,}143698\ \text{Вт},\qquad \dfrac{P_0-P}{P}\cdot100\,\%=\dfrac{0{,}144-0{,}143698}{0{,}143698}\cdot100\,\%\approx0{,}21\,\%\approx0{,}2\,\%.$$

Мощность $P_0$ больше измеренной примерно на $0{,}2\,\%$. Если отсчитывать проценты от $P_0$, получится $0{,}2097\,\%$ — тоже $0{,}2\,\%$: при таком маленьком различии база процентов на ответ не влияет.

Проверим себя. Падение напряжения на амперметре $IR_A\approx0{,}0126$ В — это $0{,}105\,\%$ от ЭДС. Мощность пропорциональна квадрату напряжения, поэтому её относительное изменение примерно вдвое больше: $2\cdot0{,}105\,\%\approx0{,}21\,\%$ — сходится. А вот если бы школьник перемножил показания приборов, $UI\approx0{,}1509$ Вт, — это на $5\,\%$ больше $P_0$ из-за тока вольтметра, который не идёт через резистор.

Почему модель законна. Внутренним сопротивлением аккумулятора пренебрегаем (оно «малое»), приборы — резисторы с сопротивлениями $R_A$ и $R_V$, показывающие свои реальные ток и напряжение; сопротивления постоянны, ток постоянный — работают закон Ома для полной цепи, правила соединений и формула мощности $P=\dfrac{U^2}{R}$.