Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048265

Что здесь происходит. Лампы 1 и 2 подключены к левому проводу, лампы 3 и 4 — к правому. Вертикальная перемычка соединяет точку между лампами 1 и 3 (верхний узел) с точкой между лампами 2 и 4 (нижний узел). Перемычка — проводник без сопротивления, поэтому верхний и нижний узлы имеют один потенциал. Значит, лампы 1 и 2 соединены параллельно (обе между левым проводом и перемычкой), лампы 3 и 4 — тоже параллельно (между перемычкой и правым проводом), а две эти группы — последовательно. Ток через перемычку появляется, если ток, приходящий в узел из левой лампы, не равен току, уходящему в правую.

Дано: $R_1=20$ Ом, $R_2=30$ Ом, $R_3=10$ Ом, $R_4=40$ Ом, $r=5$ Ом, $\mathcal{E}=100$ В. Найти: ток через перемычку и его направление.

Шаг 1 — сопротивления групп:

$$R_{12}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{20\cdot30}{50}=12\ \text{Ом},\qquad R_{34}=\dfrac{R_3R_4}{R_3+R_4}=\dfrac{10\cdot40}{50}=8\ \text{Ом}.$$

Шаг 2 — ток через источник по закону Ома для полной цепи:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{12}+R_{34}+r}=\dfrac{100}{12+8+5}=4\ \text{А}.$$

Шаг 3 — напряжения на группах и токи ламп:

$$U_{12}=IR_{12}=48\ \text{В}:\quad I_1=\dfrac{48}{20}=2{,}4\ \text{А},\quad I_2=\dfrac{48}{30}=1{,}6\ \text{А};$$

$$U_{34}=IR_{34}=32\ \text{В}:\quad I_3=\dfrac{32}{10}=3{,}2\ \text{А},\quad I_4=\dfrac{32}{40}=0{,}8\ \text{А}.$$

Шаг 4 — направление тока в лампах. По рисунку у источника длинная тонкая черта («плюс») слева, короткая толстая («минус») справа. Значит, ток выходит из источника в левый провод, идёт через лампы слева направо и возвращается по правому проводу.

Шаг 5 — узел (первое правило Кирхгофа: сколько тока втекает в узел, столько и вытекает). В верхний узел из лампы 1 приходит $2{,}4$ А, а в лампу 3 уходит $3{,}2$ А. Недостающие $3{,}2-2{,}4=0{,}8$ А должны прийти в верхний узел по перемычке. Значит, по перемычке ток идёт снизу вверх:

$$I_{\text{п}}=I_3-I_1=3{,}2-2{,}4=0{,}8\ \text{А}.$$

Проверим себя нижним узлом: в него из лампы 2 приходит $1{,}6$ А, в лампу 4 уходит $0{,}8$ А, лишние $1{,}6-0{,}8=0{,}8$ А уходят вверх по перемычке — то же значение и то же направление. Если бы выполнялось $\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_3}{R_4}$, токи делились бы в обеих группах в одной пропорции и по перемычке ток бы не шёл; у нас $\dfrac{20}{30}\ne\dfrac{10}{40}$, поэтому ток есть.

Почему модель законна. Сопротивления ламп считаем постоянными, перемычку и провода — без сопротивления (поэтому концы перемычки эквипотенциальны), ЭДС и внутреннее сопротивление источника постоянны, ток постоянный — применимы закон Ома для полной цепи, правила соединений и первое правило Кирхгофа для узлов.