Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048262

Что здесь происходит. Схема — «дерево»: от каждого резистора отходят два одинаковых. На первом шаге $1$ резистор, на втором $2$, на третьем $4$, на $k$-м $2^{k-1}$. Мощность резистора определяется током через него, а ток — тем, как ток батареи расходится по дереву. Сначала найдём сопротивление всей цепи и ток батареи.

Дано: $R=10$ Ом, $\mathcal{E}=12$ В, батарея идеальная, $N\gg1$. Найти: $P_{33}$ — мощность на резисторе 3-го шага.

Шаг 1 — как делится ток. В каждом узле ток приходит из одного резистора и уходит в два. Две ветви, идущие от узла дальше, устроены совершенно одинаково и заканчиваются на одном и том же проводе «плюса», поэтому у них одинаковое сопротивление и ток делится между ними поровну.

Шаг 2 — сопротивление цепи. Из-за той же одинаковости правые концы всех резисторов одного шага находятся под одним потенциалом, и шаг ведёт себя как $2^{k-1}$ параллельных резисторов: его сопротивление $\dfrac{R}{2^{k-1}}$. Шаги идут друг за другом:

$$R_{\text{общ}}=R+\dfrac{R}{2}+\dfrac{R}{4}+\dfrac{R}{8}+\ldots=2R\left(1-2^{-N}\right)\approx2R=20\ \text{Ом}.$$

Насколько велико различие между конечным $N$ и бесконечностью? Уже при $N=10$ сумма отличается от $2R$ меньше чем на $0{,}1\,\%$, так что для $N\gg1$ это точное значение.

Шаг 3 — ток батареи и ток резистора 3-го шага:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}=\dfrac{12}{20}=0{,}6\ \text{А},\qquad I_3=\dfrac{I}{2\cdot2}=\dfrac{0{,}6}{4}=0{,}15\ \text{А}$$

(ток разделился пополам после 1-го шага и ещё раз после 2-го). Какой по счёту сверху этот резистор, неважно: все четыре резистора 3-го шага одинаковы.

Шаг 4 — мощность:

$$P_{33}=I_3^2R=0{,}15^2\cdot10=0{,}0225\cdot10=0{,}225\ \text{Вт}=225\ \text{мВт}.$$

Проверим себя напряжениями. На шаге $k$ напряжение $I\cdot\dfrac{R}{2^{k-1}}$: $6$ В, $3$ В, $1{,}5$ В, … — каждый шаг вдвое меньше, а сумма $6+3+1{,}5+\ldots=12$ В $=\mathcal{E}$. На резисторе 3-го шага напряжение $1{,}5$ В, и $P_{33}=\dfrac{1{,}5^2}{10}=0{,}225$ Вт — сходится. Весь 3-й шаг потребляет $I^2\cdot\dfrac{R}{4}=0{,}36\cdot2{,}5=0{,}9$ Вт, и одному из четырёх резисторов достаётся четверть.

Почему модель законна. Батарея идеальная, резисторы одинаковые и постоянные, сопротивлением проводов и ключа пренебрегаем; из симметрии дерева узлы одного шага эквипотенциальны, ток в каждом узле делится поровну; при $N\gg1$ сумму прогрессии можно заменить её пределом.