МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048285

Что здесь происходит. Азот в сосуде запирают лёгкой пробкой, которая туго ходит в горлышке — мешает трение. При охлаждении газ сжимается, и давление камеры вдавливает пробку внутрь. При обратном нагреве газ расширяется и выталкивает пробку, но трение не пускает её на прежнее место. По тому, где останавливается пробка, нужно найти начальную температуру.

Дано: $L=60$ см, $T_1=190$ К, $h=30$ см, $H=38$ см; давление камеры $p_0$ постоянно. Найти: $T_0$.

Шаг 1 — три состояния газа в сосуде. Сечение сосуда $S$ постоянно, поэтому объём газа пропорционален высоте столба. Рис. 1: пробку только вставили, газ при давлении камеры $p_0$, температуре $T_0$, высота столба $L$. Рис. 2: давление $p_1$, температура $T_1$, высота $h$. Рис. 3: давление $p_2$, температура $T_0$, высота $H$. Количество газа во всех трёх состояниях одно и то же.

Шаг 2 — равновесие пробки при движении вниз. При охлаждении давление газа падает, давление камеры сверху вдавливает пробку внутрь. Пробка ползёт вниз, сила трения $F$ направлена вверх. Масса пробки не учитывается, поэтому в положении на рис. 2 (пробка медленно движется или вот-вот остановится — силы уравновешены)

$$p_0S=p_1S+F.$$

Шаг 3 — равновесие пробки при движении вверх. При нагреве газ выталкивает пробку наружу, теперь трение направлено вниз:

$$p_2S=p_0S+F.$$

Именно трение не даёт пробке вернуться на высоту $L$, хотя температура вернулась к $T_0$: газ остаётся поджатым, $p_2\gt p_0$, поэтому $H\lt L$.

Шаг 4 — исключаем неизвестное трение. Сила трения в обоих случаях одинакова. Из двух равенств $p_0-p_1=\dfrac{F}{S}=p_2-p_0$, то есть давление камеры ровно посередине:

$$p_1+p_2=2p_0.$$

Шаг 5 — газовые законы. Рис. 1 и рис. 3 — одна и та же температура $T_0$, поэтому по закону Бойля — Мариотта $p_0SL=p_2SH$, откуда $p_2=p_0\dfrac{L}{H}$. Рис. 1 и рис. 2 связывает уравнение Клапейрона для постоянного количества газа:

$$\dfrac{p_0L}{T_0}=\dfrac{p_1h}{T_1}\quad\Rightarrow\quad p_1=p_0\dfrac{LT_1}{hT_0}.$$

Шаг 6 — подставляем в $p_1+p_2=2p_0$ и сокращаем на $p_0$:

$$\dfrac{LT_1}{hT_0}+\dfrac{L}{H}=2\quad\Rightarrow\quad T_0=\dfrac{LT_1}{h\left(2-\dfrac{L}{H}\right)}.$$

Высоты входят только отношениями, поэтому их можно подставлять в сантиметрах: $\dfrac{L}{H}=\dfrac{60}{38}\approx1{,}5789$, $2-1{,}5789=0{,}4211$;

$$T_0=\dfrac{60\cdot190}{30\cdot0{,}4211}=\dfrac{11\,400}{12{,}63}\approx902{,}5\ \text{К}.$$

Проверим себя. Давление газа на рис. 2: $p_1=p_0\dfrac{60\cdot190}{30\cdot902{,}5}\approx0{,}421\,p_0$ — меньше давления камеры, пробка действительно втянута. На рис. 3: $p_2=p_0\dfrac{60}{38}\approx1{,}579\,p_0$ — больше, пробку выталкивает. Сумма $0{,}421+1{,}579=2{,}000$ — давление камеры ровно посередине, всё согласовано.

Почему модель законна. Азот в сосуде считаем идеальным газом постоянной массы (пробка плотная), состояния на рисунках равновесные — для них верно уравнение Клапейрона. Пробка лёгкая (массой пренебрегаем), движется медленно, поэтому силы на неё в каждом положении уравновешены; сила трения скольжения по модулю одинакова при движении вниз и вверх, а давление камеры постоянно.