МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048284

Что здесь происходит. Поршень висит на растянутой пружине, а снизу его поддерживает газ. При нагревании газ расширяется и толкает поршень вверх, пружина постепенно укорачивается и в конце становится недеформированной. Нужно найти, на сколько градусов пришлось нагреть газ. Масса и площадь поршня неизвестны — обойдёмся без них.

Дано: $k=290$ кН/м $=2{,}9\cdot10^5$ Н/м, $\nu=5$ моль, $\Delta h=0{,}05$ м, $T_1=293$ К, $h=0{,}6$ м. Найти: $\Delta T$.

Шаг 1 — почему давление газа меняется. Над поршнем вакуум, и, казалось бы, газ должен расширяться при постоянном давлении. Но на поршень кроме силы тяжести действует пружина, и её сила зависит от растяжения. В начале растянутая пружина тянет поршень вверх и помогает газу его держать; по мере подъёма поршня она ослабевает, и газу приходится давить сильнее. Поэтому давление газа растёт.

Шаг 2 — два равновесия поршня. В начале на поршень действуют сила тяжести $Mg$ вниз, сила давления газа $p_1S$ вверх и сила пружины $k\Delta h$ вверх (по закону Гука). Поршень покоится, сумма сил равна нулю (второй закон Ньютона):

$$p_1S+k\Delta h=Mg.$$

В конце пружина недеформирована и не действует, поршень держит только газ: $p_2S=Mg$. Вычитая, избавляемся от неизвестной массы:

$$p_2S-p_1S=k\Delta h.$$

Шаг 3 — где оказался поршень. Пружина была растянута на $5$ см и стала недеформированной — значит, поршень поднялся на $\Delta h=0{,}05$ м. Высота столба газа стала $h+\Delta h=0{,}65$ м.

Шаг 4 — силы давления через уравнение состояния. Объём газа $V=Sh$, поэтому из уравнения Менделеева — Клапейрона $pSh=\nu RT$ сила давления газа $pS=\dfrac{\nu RT}{h}$. В конечном состоянии температура равна $T_1+\Delta T$:

$$\dfrac{\nu R(T_1+\Delta T)}{h+\Delta h}-\dfrac{\nu RT_1}{h}=k\Delta h.$$

Шаг 5 — выражаем изменение температуры:

$$T_1+\Delta T=(h+\Delta h)\left(\dfrac{T_1}{h}+\dfrac{k\Delta h}{\nu R}\right),\qquad \Delta T=(h+\Delta h)\left(\dfrac{T_1}{h}+\dfrac{k\Delta h}{\nu R}\right)-T_1.$$

Считаем по частям: $\dfrac{T_1}{h}=\dfrac{293}{0{,}6}\approx488{,}3$ К/м; $\dfrac{k\Delta h}{\nu R}=\dfrac{2{,}9\cdot10^5\cdot0{,}05}{5\cdot8{,}31}=\dfrac{14\,500}{41{,}55}\approx349{,}0$ К/м. Сумма $\approx837{,}3$ К/м, умножаем на $0{,}65$ м: $T_1+\Delta T\approx544{,}3$ К. Тогда

$$\Delta T\approx544{,}3-293\approx251\ \text{К}.$$

Проверим себя. Сила давления газа в начале $\dfrac{41{,}55\cdot293}{0{,}6}\approx20\,290$ Н, в конце $\dfrac{41{,}55\cdot544{,}3}{0{,}65}\approx34\,790$ Н. Разность $\approx14\,500$ Н — ровно сила пружины $k\Delta h=2{,}9\cdot10^5\cdot0{,}05=14\,500$ Н. Крайний случай тоже сходится: если бы пружина в начале не была растянута ($\Delta h=0$), формула дала бы $\Delta T=0$.

Почему модель законна. Газ идеальный, количество вещества постоянно, начальное и конечное состояния равновесные — к ним применимо уравнение Менделеева — Клапейрона. Поршень в этих состояниях покоится относительно неподвижного сосуда (ИСО), поэтому сумма сил на него равна нулю. Пружина невесома и подчиняется закону Гука, трения о стенки нет, над поршнем вакуум.