Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048281

Что здесь происходит. Газ в двигателе ходит по «ступенчатому» циклу из изохор и изобар. Энергию ему даёт сгорающий уголь, но газ получает только половину выделившейся теплоты. Нужно найти, сколько угля сгорит за $10^4$ циклов. План: найти теплоту, полученную газом за один цикл, умножить на число циклов и пересчитать на уголь.

Дано: $\nu=0{,}05$ моль, $q=29{,}3$ МДж/кг $=2{,}93\cdot10^7$ Дж/кг, $\eta=0{,}5$, $T_4=500$ К, $N=10^4$. Найти: $m$.

Шаг 1 — состояния по диаграмме. Координаты точек: 1 $(V_0;p_0)$, 2 $(V_0;3p_0)$, 3 $(2V_0;3p_0)$, 4 $(2V_0;2p_0)$, 5 $(3V_0;2p_0)$, 6 $(3V_0;p_0)$. Произведения $pV$ в единицах $p_0V_0$: $1;\ 3;\ 6;\ 4;\ 6;\ 3$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$, поэтому в точке 4: $4p_0V_0=\nu RT_4$, откуда

$$p_0V_0=\dfrac{\nu RT_4}{4}=\dfrac{0{,}05\cdot8{,}31\cdot500}{4}\approx51{,}9\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — на каких участках газ получает теплоту. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$. На изохоре работы нет: $Q=\dfrac{3}{2}\Delta(pV)$. На изобаре добавляется работа $p\Delta V=\Delta(pV)$: $Q=\dfrac{5}{2}\Delta(pV)$. Газ получает теплоту там, где $pV$ растёт:

1→2 (изохора, $pV$: $1\to3$): $Q_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot2p_0V_0=3p_0V_0$;

2→3 (изобара, $3\to6$): $Q_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot3p_0V_0=7{,}5\,p_0V_0$;

4→5 (изобара, $4\to6$): $Q_{45}=\dfrac{5}{2}\cdot2p_0V_0=5p_0V_0$.

На участках 3→4, 5→6 и 6→1 произведение $pV$ убывает — там газ теплоту отдаёт. Итого за цикл газ получает

$$Q_{\text{н}}=3+7{,}5+5=15{,}5\,p_0V_0=\dfrac{31}{2}\cdot\dfrac{\nu RT_4}{4}=\dfrac{31\nu RT_4}{8}\approx15{,}5\cdot51{,}9\approx805\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — уголь. За $N$ циклов газ получает $NQ_{\text{н}}$, и это лишь доля $\eta$ теплоты сгорания $qm$:

$$\eta qm=NQ_{\text{н}}\quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{NQ_{\text{н}}}{\eta q}=\dfrac{31\nu RT_4N}{8\eta q}=\dfrac{10^4\cdot805}{0{,}5\cdot2{,}93\cdot10^7}=\dfrac{8{,}05\cdot10^6}{1{,}465\cdot10^7}\approx0{,}55\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Отданная теплота: 3→4 $\dfrac{3}{2}\cdot2=3$, 5→6 $\dfrac{3}{2}\cdot3=4{,}5$, 6→1 $\dfrac{5}{2}\cdot2=5$ — всего $12{,}5\,p_0V_0$. Разность $15{,}5-12{,}5=3\,p_0V_0$ — это работа за цикл, и она совпадает с площадью ступенчатой фигуры на диаграмме: $2+1=3$ клетки $p_0V_0$.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процессы равновесные — к каждой точке применимо уравнение Менделеева — Клапейрона, внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}pV$, работа равна площади под графиком. Уголь сгорает полностью, и газ получает ровно долю $\eta$ выделившейся теплоты.