Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048280

Что здесь происходит. Газ проходит два участка: сначала 1–2, потом 2–3. На графике по вертикали отложена температура, по горизонтали — объём. Нужно найти всю теплоту, которую газ получил на пути 1–2–3. Теплоту будем считать отдельно на каждом участке по первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$ и потом сложим.

Шаг 1 — какие это процессы. Отрезок 1–2 горизонтален: температура не меняется, а объём растёт — это изотермическое расширение. Отрезок 2–3 лежит на прямой, продолжение которой (пунктир) проходит через начало координат, то есть $T\sim V$. По уравнению Менделеева — Клапейрона $\dfrac{V}{T}=\dfrac{\nu R}{p}$, значит на 2–3 давление постоянно — это изобарное расширение.

Шаг 2 — теплота на изотерме 1–2. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры. На изотерме $\Delta U_{12}=0$, и вся полученная газом теплота уходит на работу:

$$Q_{12}=A_{12}=3\ \text{кДж}=3000\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — температура в состоянии 2. На изобаре объём пропорционален температуре. Объём на 2–3 вырос в $2$ раза, значит, и температура выросла в $2$ раза. Температура дана в конце, в состоянии 3, поэтому идём назад:

$$T_2=\dfrac{T_3}{2}=\dfrac{600}{2}=300\ \text{К},\qquad \Delta T_{23}=600-300=300\ \text{К}.$$

Шаг 4 — теплота на изобаре 2–3. Работа газа при постоянном давлении $A_{23}=p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T_{23}$ (по уравнению Менделеева — Клапейрона), изменение внутренней энергии $\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{23}$. По первому закону термодинамики

$$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\dfrac{5}{2}\nu R\,\Delta T_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot300=6232{,}5\ \text{Дж}.$$

Шаг 5 — вся теплота. На обоих участках газ получает теплоту, складываем:

$$Q=Q_{12}+Q_{23}=3000+6232{,}5=9232{,}5\ \text{Дж}\approx9{,}2\ \text{кДж}.$$

Проверим себя. На изобаре работа $8{,}31\cdot300=2493$ Дж и прирост внутренней энергии $1{,}5\cdot2493\approx3739{,}5$ Дж относятся как $2:3$, в сумме $6232{,}5$ Дж — сходится. Можно и иначе: от состояния 1 до состояния 3 температура выросла с $300$ до $600$ К, $\Delta U_{13}=\dfrac{3}{2}\cdot8{,}31\cdot300\approx3739{,}5$ Дж, вся работа $3000+2493=5493$ Дж, сумма — те же $9232{,}5$ Дж.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно ($1$ моль), процессы равновесные — к каждому состоянию применимо уравнение Менделеева — Клапейрона, а внутренняя энергия зависит только от температуры. Первый закон термодинамики записываем для каждого участка отдельно.