Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048279

Что здесь происходит. Газ ходит по циклу из двух изохор и двух адиабат: 1→2 — остывание при постоянном объёме, 2→3 — адиабатное сжатие, 3→4 — нагревание при постоянном объёме, 4→1 — адиабатное расширение. Нужно найти КПД — какую долю полученной теплоты газ превращает в работу.

Шаг 1 — температуры в состояниях 2 и 4. На изохоре объём постоянен, и по уравнению Менделеева — Клапейрона давление пропорционально абсолютной температуре. На 1→2 давление упало в $1{,}5$ раза — во столько же раз упала температура; на 3→4 давление выросло в $1{,}5$ раза — и температура тоже:

$$T_2=\dfrac{T_1}{1{,}5}=\dfrac{450}{1{,}5}=300\ \text{К},\qquad T_4=1{,}5\,T_3=1{,}5\cdot500=750\ \text{К}.$$

Шаг 2 — где газ получает и где отдаёт теплоту. На адиабатах теплообмена нет. Остаются изохоры. На изохоре работа равна нулю, и по первому закону термодинамики $Q=\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. На 3→4 газ нагревается — получает теплоту от нагревателя; на 1→2 остывает — отдаёт теплоту холодильнику:

$$Q_{\text{н}}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_4-T_3)=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot250\ \text{К},\qquad |Q_{\text{х}}|=\dfrac{3}{2}\nu R\,(T_1-T_2)=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot150\ \text{К}.$$

Шаг 3 — КПД. Работа газа за цикл равна разности полученной и отданной теплоты, поэтому

$$\eta=\dfrac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{н}}}=1-\dfrac{|Q_{\text{х}}|}{Q_{\text{н}}}=1-\dfrac{150}{250}=1-0{,}6=0{,}4=40\%.$$

Количество вещества сократилось — его знать не нужно.

Проверим себя. На адиабатах 2→3 и 4→1 объём меняется в одно и то же число раз (между теми же двумя изохорами), поэтому отношения температур на концах адиабат должны совпасть: $\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{500}{300}\approx1{,}67$ и $\dfrac{T_4}{T_1}=\dfrac{750}{450}\approx1{,}67$ — данные согласованы. Отданная теплота ($150$ «единиц») меньше полученной ($250$), работа положительна — это двигатель. КПД $40\%$ меньше КПД Карно для крайних температур цикла $1-\dfrac{300}{750}=60\%$, как и должно быть.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, его количество постоянно, процессы равновесные: на изохорах выполняется $\dfrac{p}{T}=\text{const}$, внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры, на адиабатах теплообмена нет. Первый закон термодинамики применяем к каждому участку.