МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048278

Что здесь происходит. Тяжёлый поршень висит на пружине, прикреплённой к крышке сосуда, а снизу его подпирает газ. Сверху вакуум — воздух на поршень не давит. Газ нагревают, он расширяется и приподнимает поршень, пока пружина не перестанет быть растянутой. Масса поршня и его площадь не даны — нужно найти жёсткость пружины, обойдясь без них.

Дано: $\nu=3$ моль, $T_1=300$ К, $h=0{,}4$ м, $\Delta h=0{,}02$ м, $\Delta T=110$ К. Найти: $k$.

Шаг 1 — силы в начальном состоянии. На поршень действуют: сила тяжести $Mg$ вниз; сила давления газа $p_1S$ вверх; растянутая пружина тянет поршень к верхнему основанию, то есть вверх, с силой $k\Delta h$ (закон Гука). Над поршнем вакуум, поэтому других сил нет. Поршень покоится, по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю:

$$p_1S+k\Delta h=Mg.$$

Шаг 2 — силы в конечном состоянии. Пружина недеформирована, её сила равна нулю, и поршень держит только газ:

$$p_2S=Mg.$$

Растянутая пружина стала недеформированной — значит, поршень поднялся ровно на $\Delta h$. Высота столба газа стала $h+\Delta h=0{,}42$ м.

Шаг 3 — избавляемся от неизвестной массы. Вычтем первое равенство из второго:

$$p_2S-p_1S=k\Delta h.$$

Шаг 4 — силы давления через уравнение состояния. Объём газа равен $V=Sh$, поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$ можно записать как $pS\cdot h=\nu RT$. Отсюда сила давления газа на поршень

$$p_1S=\dfrac{\nu RT_1}{h},\qquad p_2S=\dfrac{\nu R(T_1+\Delta T)}{h+\Delta h}.$$

Площадь поршня отдельно не нужна — нужна только сила $pS$.

Шаг 5 — жёсткость. Подставляем в равенство шага 3:

$$k=\dfrac{\nu R}{\Delta h}\left(\dfrac{T_1+\Delta T}{h+\Delta h}-\dfrac{T_1}{h}\right)=\dfrac{3\cdot8{,}31}{0{,}02}\left(\dfrac{410}{0{,}42}-\dfrac{300}{0{,}4}\right).$$

Считаем по частям: $\dfrac{3\cdot8{,}31}{0{,}02}=1246{,}5$ Дж/(К$\cdot$м); $\dfrac{410}{0{,}42}\approx976{,}2$ К/м; $\dfrac{300}{0{,}4}=750$ К/м. Тогда

$$k\approx1246{,}5\cdot(976{,}2-750)=1246{,}5\cdot226{,}2\approx2{,}82\cdot10^5\ \text{Н/м}\approx282\ \text{кН/м}.$$

Проверим себя. Сила давления газа в начале $p_1S=\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}4}\approx18\,700$ Н, в конце $p_2S=\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot410}{0{,}42}\approx24\,340$ Н. Разность $\approx5640$ Н, и $k\Delta h=2{,}82\cdot10^5\cdot0{,}02\approx5640$ Н — сходится. Знак тоже разумный: жёсткость положительна, потому что температура выросла в большей доле ($\dfrac{110}{300}\approx0{,}37$), чем высота столба газа ($\dfrac{0{,}02}{0{,}4}=0{,}05$).

Почему модель законна. Газ идеальный, его количество постоянно, поэтому в каждом равновесном состоянии работает уравнение Менделеева — Клапейрона. Поршень в начальном и конечном состояниях покоится в ИСО (сосуд неподвижен), поэтому для него сумма сил равна нулю. Пружина невесома и подчиняется закону Гука, трения поршня о стенки нет (иначе в равновесии появилась бы неизвестная сила), над поршнем вакуум.