Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048277

Что здесь происходит. Пуля врезается в поршень и застревает. Поршень вместе с пулей отъезжает влево, сжимает аргон и в крайнем левом положении останавливается. Аргон при этом нагревается на $60$ К. По нагреву газа нужно восстановить, с какой скоростью летела пуля. Идём «с конца»: сначала газ, потом движение поршня, потом удар.

Дано: $p_0=100$ кПа $=10^5$ Па, $T_0=20\ ^\circ\text{C}=293$ К, $V_0=2$ л $=2\cdot10^{-3}$ м³, $M=200$ г $=0{,}2$ кг, $m=10$ г $=0{,}01$ кг, $\Delta T=60$ К. Найти: $v$.

Шаг 1 — сколько энергии получил аргон. Аргон — инертный одноатомный газ, его внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Количество вещества не дано, но его заменяет начальное состояние: по уравнению Менделеева — Клапейрона $\nu R=\dfrac{p_0V_0}{T_0}$. Тогда

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{p_0V_0}{T_0}\,\Delta T=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{10^5\cdot2\cdot10^{-3}}{293}\cdot60=\dfrac{3}{2}\cdot200\cdot\dfrac{60}{293}\approx61{,}4\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — откуда эта энергия. Справа от поршня вакуум, поэтому никакой внешний воздух на поршень не давит и работы против него нет. Трения нет, теплообмена с цилиндром и поршнем за время движения тоже нет. Значит, вся кинетическая энергия, которую поршень с пулей получили при ударе, к моменту остановки (скорость равна нулю) перешла во внутреннюю энергию аргона — это закон сохранения энергии вместе с первым законом термодинамики для адиабатного сжатия ($Q=0$, $\Delta U=A_{\text{внеш}}$):

$$\dfrac{(m+M)u^2}{2}=\Delta U,$$

где $u$ — скорость поршня с пулей сразу после удара. Отсюда

$$u=\sqrt{\dfrac{2\Delta U}{m+M}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot61{,}4}{0{,}21}}\approx\sqrt{585}\approx24{,}2\ \text{м/с}.$$

Шаг 3 — удар. Пуля застревает — удар абсолютно неупругий. Механическая энергия при таком ударе не сохраняется (часть уходит в нагрев пули и поршня), а импульс системы «пуля + поршень» сохраняется: удар очень короткий, внешние силы вдоль оси за это время импульс не меняют. До удара двигалась только пуля:

$$mv=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{m+M}{m}\,u=\dfrac{0{,}21}{0{,}01}\cdot24{,}2=21\cdot24{,}2\approx508\ \text{м/с}.$$

В общем виде: $v=\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{3p_0V_0(m+M)\,\Delta T}{T_0}}$.

Проверим себя. Энергия пули до удара $\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0{,}01\cdot508^2}{2}\approx1290$ Дж, а газу досталось около $61$ Дж — ровно в $21$ раз меньше, как и должно быть при неупругом ударе о тело в $20$ раз тяжелее пули: доля энергии, оставшейся в движении, равна $\dfrac{m}{m+M}=\dfrac{1}{21}$. Размерность формулы: под корнем джоули, делённые на килограммы, — м²/с², корень даёт м/с.

Почему модель законна. Пулю и поршень при ударе считаем материальными точками, удар — мгновенным, поэтому за время удара сохраняется импульс. Аргон — идеальный одноатомный газ постоянной массы. Сжатие адиабатное (теплообмена нет по условию), снаружи вакуум, трения нет, поэтому вся кинетическая энергия поршня с пулей превращается во внутреннюю энергию газа.