Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048275

Что здесь происходит. Газ расширяется так, что его давление всё время пропорционально объёму: $p=kV$. На $pV$-диаграмме это отрезок прямой, направленной из начала координат. Плотность газа уменьшилась вдвое — значит, газ расширился. Найдём, сколько теплоты для этого понадобилось, по первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$.

Дано: $\nu=2$ моль, $T_1=373$ К, $\alpha=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}=2$. Найти: $Q$.

Шаг 1 — объём и давление в конце. Масса газа постоянна, плотность $\rho=\dfrac{m}{V}$ уменьшилась в $2$ раза — значит, объём увеличился в $2$ раза: $V_2=2V_1$. Давление пропорционально объёму, поэтому $p_2=2p_1$. Состояние 2 лежит на той же прямой, что и состояние 1, но вдвое дальше от начала координат.

Шаг 2 — всё через одну известную величину. По уравнению Менделеева — Клапейрона $p_1V_1=\nu RT_1$ — это известное число. В конце $p_2V_2=2p_1\cdot2V_1=4p_1V_1$, то есть температура выросла вчетверо: $T_2=4T_1=1492$ К. Изменение температуры $\Delta T=T_2-T_1=3T_1=1119$ К.

Шаг 3 — изменение внутренней энергии. Для одноатомного газа берём именно изменение, от $T_1$ до $T_2$:

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=\dfrac{3}{2}\cdot3p_1V_1=\dfrac{9}{2}\nu RT_1.$$

Шаг 4 — работа. Работа газа — площадь под отрезком 1–2 на $pV$-диаграмме, то есть трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и высотой $V_2-V_1$:

$$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\dfrac{p_1+2p_1}{2}\cdot V_1=\dfrac{3}{2}p_1V_1=\dfrac{3}{2}\nu RT_1.$$

Шаг 5 — теплота:

$$Q=\Delta U+A=\dfrac{9}{2}\nu RT_1+\dfrac{3}{2}\nu RT_1=6\nu RT_1=6\cdot2\cdot8{,}31\cdot373.$$

Считаем: $2\cdot8{,}31=16{,}62$; $16{,}62\cdot373=6199{,}26$; $6\cdot6199{,}26\approx37\,196$ Дж $\approx3{,}7\cdot10^4$ Дж.

Проверим себя. Обратный ход: если $Q=6\nu RT_1$, то $\dfrac{Q}{2\nu RT_1}=3=\alpha^2-1$, откуда $\alpha=2$ — сходится с условием. По отдельности $\Delta U\approx27\,897$ Дж и $A\approx9299$ Дж, оба положительны: газ нагревается и расширяется, теплоту действительно получает.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процесс равновесный, поэтому в каждом состоянии верно уравнение Менделеева — Клапейрона, работа равна площади под графиком на $pV$-диаграмме, а внутренняя энергия зависит только от температуры.