Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048274

Что здесь происходит. Газ расширяется так, что давление всё время пропорционально объёму: $p=kV$. Он получил $15$ кДж теплоты. Плотность при расширении падает — нужно найти, во сколько раз. Обозначим это число $\alpha=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}$, выразим через него теплоту и решим уравнение.

Дано: $\nu=1$ моль, $T_1=300$ К, $Q=15$ кДж $=15\,000$ Дж. Найти: $\alpha$.

Шаг 1 — объём, давление и температура через $\alpha$. Масса газа постоянна, а $\rho=\dfrac{m}{V}$, поэтому объём вырос в $\alpha$ раз: $V_2=\alpha V_1$. Давление пропорционально объёму: $p_2=\alpha p_1$. По уравнению Менделеева — Клапейрона температура пропорциональна $pV$:

$$\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\alpha^2,\qquad \Delta T=T_1(\alpha^2-1).$$

Шаг 2 — изменение внутренней энергии одноатомного газа:

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T.$$

Шаг 3 — работа. Площадь трапеции под отрезком прямой $p=kV$:

$$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\dfrac{k(V_2+V_1)(V_2-V_1)}{2}=\dfrac{kV_2^2-kV_1^2}{2}=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{2}=\dfrac{\nu R\,\Delta T}{2}.$$

Шаг 4 — первый закон термодинамики:

$$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\dfrac{1}{2}\nu R\Delta T=2\nu R\Delta T=2\nu RT_1(\alpha^2-1).$$

Шаг 5 — находим $\alpha$:

$$\alpha^2-1=\dfrac{Q}{2\nu RT_1}=\dfrac{15\,000}{2\cdot1\cdot8{,}31\cdot300}=\dfrac{15\,000}{4986}\approx3{,}01,\qquad \alpha^2\approx4{,}01,\qquad \alpha\approx2.$$

Плотность уменьшилась примерно в $2$ раза.

Проверим себя. При $\alpha=2$ температура выросла вчетверо, до $1200$ К, $\Delta T=900$ К, и $Q=2\cdot8{,}31\cdot900=14\,958$ Дж $\approx15$ кДж — сходится. Крайний случай: при $\alpha=1$ газ не меняет состояния, и формула даёт $Q=0$, как и должно быть.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, количество вещества постоянно, процесс равновесный — в каждом состоянии выполняется уравнение Менделеева — Клапейрона, работа равна площади под графиком на $pV$-диаграмме, внутренняя энергия зависит только от температуры.