Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048273

Что здесь происходит. С газом проводят необычный процесс: его давление растёт вместе с объёмом, причём пропорционально, $p=kV$. На $pV$-диаграмме это отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Плотность газа упала вдвое, и нужно найти, сколько теплоты он при этом получил. Считать будем по первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$.

Дано: $\nu=2$ моль, $T_1=250$ К, $\alpha=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}=2$. Найти: $Q$.

Шаг 1 — как изменились объём и давление. Масса газа не меняется, а плотность $\rho=\dfrac{m}{V}$. Раз плотность уменьшилась в $\alpha$ раз, объём во столько же раз вырос: $V_2=\alpha V_1=2V_1$. Давление пропорционально объёму, значит, и оно выросло в $\alpha$ раз: $p_2=\alpha p_1=2p_1$.

Шаг 2 — конечная температура. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$ температура пропорциональна произведению $pV$:

$$\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\alpha\cdot\alpha=\alpha^2=4\quad\Rightarrow\quad T_2=4\cdot250=1000\ \text{К},\qquad \Delta T=750\ \text{К}.$$

Шаг 3 — изменение внутренней энергии. Для одноатомного идеального газа

$$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T=\dfrac{3}{2}\cdot2\cdot8{,}31\cdot750=18\,697{,}5\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — работа газа. Работа равна площади под графиком $p(V)$. Под отрезком прямой от $(V_1;p_1)$ до $(V_2;p_2)$ лежит трапеция:

$$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1)=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1+p_1V_2-p_2V_1}{2}.$$

На прямой $p=kV$ произведения $p_1V_2=kV_1V_2$ и $p_2V_1=kV_2V_1$ равны, они взаимно уничтожаются, и остаётся

$$A=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{2}=\dfrac{\nu R\,\Delta T}{2}=\dfrac{2\cdot8{,}31\cdot750}{2}=6232{,}5\ \text{Дж}.$$

Шаг 5 — теплота. По первому закону термодинамики

$$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\dfrac{1}{2}\nu R\Delta T=2\nu R\,\Delta T=2\nu RT_1(\alpha^2-1)=2\cdot2\cdot8{,}31\cdot250\cdot3=24\,930\ \text{Дж}\approx25\ \text{кДж}.$$

Проверим себя. Работа и прирост внутренней энергии относятся как $6232{,}5:18\,697{,}5=1:3$, как и следует из формул. Полученная теплота $2\nu R\Delta T$ лежит между теплотой при постоянном объёме ($1{,}5\,\nu R\Delta T$) и при постоянном давлении ($2{,}5\,\nu R\Delta T$) для того же нагрева — разумно: газ совершает работу, но вдвое меньшую, чем при изобарном нагреве на те же $750$ К.

Почему модель законна. Газ идеальный одноатомный, его количество постоянно, процесс равновесный (в каждый момент $p=kV$), поэтому к любому состоянию применимо уравнение Менделеева — Клапейрона, а работа равна площади под графиком на $pV$-диаграмме. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.