Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048271

Что здесь происходит. Пробка держится в горлышке за счёт трения. В первом опыте бутылку ставят горлышком вверх и подогревают гелий: давление растёт, и при $9$ Дж пробку выталкивает. Этот опыт позволяет «взвесить» силу трения. Во втором опыте бутылка лежит, гелий не греют, и пробку тянут рукой — нужно найти наименьшую силу.

Дано: $V=1$ л $=10^{-3}$ м³, $S=2\ \text{см}^2=2\cdot10^{-4}$ м², $m=20$ г $=0{,}02$ кг, $Q=9$ Дж. Найти: $F_{\min}$.

Шаг 1 — на сколько вырастет давление гелия. Пока пробка не сдвинулась, объём гелия постоянен, газ работы не совершает, и по первому закону термодинамики вся теплота идёт на увеличение внутренней энергии: $Q=\Delta U$. Гелий одноатомный, его внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а по уравнению Менделеева — Клапейрона $\nu RT=pV$, поэтому $U=\dfrac{3}{2}pV$. При постоянном объёме

$$Q=\dfrac{3}{2}V\Delta p\quad\Rightarrow\quad\Delta p=\dfrac{2Q}{3V}=\dfrac{2\cdot9}{3\cdot10^{-3}}=6000\ \text{Па}.$$

Здесь $\Delta p$ — на сколько давление гелия стало больше атмосферного.

Шаг 2 — силы на пробку в стоящей бутылке. Снизу пробку толкает гелий с силой $(p_0+\Delta p)S$, сверху давит атмосфера с силой $p_0S$. Вниз тянет сила тяжести $mg$. Пробка «хочет» уйти вверх, поэтому трение направлено вниз. Минимальная теплота $9$ Дж означает, что именно при ней трение покоя достигает своего наибольшего значения $F_{\text{тр}}$ и пробка трогается. В этот момент силы уравновешены (второй закон Ньютона при нулевом ускорении):

$$(p_0+\Delta p)S=p_0S+mg+F_{\text{тр}}\quad\Rightarrow\quad F_{\text{тр}}=\Delta p\,S-mg.$$

Атмосферное давление сократилось — его численное значение не понадобилось.

Шаг 3 — сила трения:

$$F_{\text{тр}}=6000\cdot2\cdot10^{-4}-0{,}02\cdot10=1{,}2-0{,}2=1\ \text{Н}.$$

Шаг 4 — лежащая бутылка. Гелий не нагревают, его давление равно атмосферному, и силы давления изнутри и снаружи на пробку одинаковы. Сила тяжести направлена поперёк горлышка и вдоль него пробку не тянет. Вдоль горлышка рука должна преодолеть только трение, которое по условию такое же. Наименьшая постоянная сила, при которой пробка начнёт выходить:

$$F_{\min}=F_{\text{тр}}=1\ \text{Н}.$$

Проверим себя. Обратный ход: чтобы вытолкнуть пробку из стоящей бутылки, нужно превышение давления $\dfrac{mg+F_{\text{тр}}}{S}=\dfrac{0{,}2+1}{2\cdot10^{-4}}=6000$ Па, а на него при объёме $10^{-3}$ м³ уходит $\dfrac{3}{2}\cdot10^{-3}\cdot6000=9$ Дж — значение из условия. Размерности тоже согласованы: Дж/м³ $=$ Н$\cdot$м/м³ $=$ Па.

Почему модель законна. Гелий считаем идеальным одноатомным газом постоянной массы; пока пробка на месте, объём постоянен и теплообмен с бутылкой не учитываем — вся теплота идёт гелию. Пробку считаем материальной точкой, она покоится в ИСО (бутылка неподвижна), поэтому в момент начала движения сумма сил на неё равна нулю, а сила трения покоя равна своему максимальному значению. Пробка короткая, поэтому сдвиг пробки не меняет объём гелия заметно до момента выхода.