Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048254

Что здесь происходит. Реостат — это резистор, сопротивление $R$ которого можно менять от $1$ до $7$ Ом. Если $R$ маленькое, ток большой, но напряжение на реостате мало; если $R$ большое — наоборот. Значит, мощность на реостате при каком-то $R$ наибольшая. Найдём это $R$, проверим, что реостат до него «дотягивается», и посчитаем мощность.

Дано: $\mathcal{E}=6$ В, $r=3$ Ом, $1\ \text{Ом}\le R\le7$ Ом. Найти: $P_{\max}$ на реостате.

Шаг 1 — мощность на реостате. Ток в цепи по закону Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$ — его ограничивают оба сопротивления. Мощность на реостате по закону Джоуля — Ленца $P=I^2R$:

$$P=\dfrac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}.$$

Шаг 2 — где максимум. Раскроем квадрат в знаменателе и разделим числитель и знаменатель на $R$:

$$P=\dfrac{\mathcal{E}^2}{R+2r+\dfrac{r^2}{R}}.$$

Мощность наибольшая, когда знаменатель наименьший. Слагаемое $2r$ постоянно, а сумма $R+\dfrac{r^2}{R}$ не может быть меньше $2r$, потому что

$$R+\dfrac{r^2}{R}-2r=\left(\sqrt{R}-\dfrac{r}{\sqrt{R}}\right)^2\ge0,$$

и равенство достигается, только когда $\sqrt{R}=\dfrac{r}{\sqrt{R}}$, то есть $R=r$. Значит, мощность на реостате максимальна, когда его сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Шаг 3 — дотягивается ли реостат. Нужное сопротивление $R=r=3$ Ом лежит между $1$ и $7$ Ом, так что это значение реостат может принять. (Если бы $r$ было вне диапазона, максимум пришлось бы искать на ближайшем краю.)

Шаг 4 — считаем. Подставляем $R=r$:

$$P_{\max}=\dfrac{\mathcal{E}^2r}{(2r)^2}=\dfrac{\mathcal{E}^2}{4r}=\dfrac{6^2}{4\cdot3}=\dfrac{36}{12}=3\ \text{Вт}.$$

Проверим себя. При $R=3$ Ом ток $I=\dfrac{6}{6}=1$ А, напряжение на реостате $U=IR=3$ В — ровно половина ЭДС, и $P=\dfrac{U^2}{R}=\dfrac{9}{3}=3$ Вт. На краях диапазона: при $R=1$ Ом $P=\dfrac{36\cdot1}{16}=2{,}25$ Вт, при $R=7$ Ом $P=\dfrac{36\cdot7}{100}=2{,}52$ Вт — оба значения меньше. Заметь, что максимум не в середине диапазона ($4$ Ом), а там, где $R=r$.

Почему модель законна. ЭДС и внутреннее сопротивление источника постоянны, сопротивлением проводов пренебрегаем, ток постоянный — поэтому применимы закон Ома для полной цепи и закон Джоуля — Ленца для реостата.