Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048242

Что здесь происходит. Реостат и источник с внутренним сопротивлением $r$ образуют простую замкнутую цепь. Мощность на реостате зависит от его сопротивления: при очень малом сопротивлении напряжение на реостате почти нулевое, при очень большом — почти нет тока, а где-то посередине мощность наибольшая. Поэтому одну и ту же мощность реостат может дать при двух разных сопротивлениях — меньшем и большем. Найдём, как эти два сопротивления связаны с $r$.

Дано: $r=5$ Ом, $R_2=9R_1$, $P(R_1)=P(R_2)$. Найти: $R_2$.

Шаг 1 — мощность на реостате. Ток в цепи по закону Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, мощность на реостате (а не во всей цепи) $P=I^2R=\dfrac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}$.

Шаг 2 — равенство мощностей. ЭДС входит в обе мощности одинаковым множителем $\mathcal{E}^2$, поэтому её знать не нужно:

$$\dfrac{R_1}{(R_1+r)^2}=\dfrac{R_2}{(R_2+r)^2}\quad\Rightarrow\quad R_1(R_2+r)^2=R_2(R_1+r)^2.$$

Раскроем скобки: $R_1R_2^2+2R_1R_2r+R_1r^2=R_2R_1^2+2R_1R_2r+R_2r^2$. Средние слагаемые одинаковы, остаётся

$$R_1R_2^2-R_2R_1^2=R_2r^2-R_1r^2\quad\Rightarrow\quad R_1R_2(R_2-R_1)=r^2(R_2-R_1).$$

Сопротивления разные ($R_2=9R_1\ne R_1$), на $R_2-R_1$ делить можно. Очевидное «решение» $R_1=R_2$ нам не подходит — оно и даёт этот множитель. Получаем

$$R_1R_2=r^2.$$

Шаг 3 — числа. $R_1=\dfrac{R_2}{9}$, поэтому $\dfrac{R_2^2}{9}=r^2$, $R_2=3r=3\cdot5=15$ Ом (а $R_1=\dfrac{5}{3}$ Ом — меньше $r$, $R_2$ — больше, по разные стороны от максимума).

Проверим себя на числах. Возьмём для примера $\mathcal{E}=10$ В. При $R_1=\dfrac{5}{3}$ Ом: $I=\dfrac{10}{5/3+5}=1{,}5$ А, $P=1{,}5^2\cdot\dfrac{5}{3}=3{,}75$ Вт. При $R_2=15$ Ом: $I=\dfrac{10}{20}=0{,}5$ А, $P=0{,}25\cdot15=3{,}75$ Вт. Совпали.

Почему модель законна. Источник — ЭДС с постоянным внутренним сопротивлением $r$, сопротивление проводов не учитываем; ток постоянный, мощность на реостате — по закону Джоуля — Ленца $P=I^2R$.