МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048238

Что здесь происходит. Стальной сосуд с воздухом под поршнем привязан нитью ко дну кастрюли: без нити он бы всплыл, потому что воздух делает его «лёгким». Воду охлаждают — воздух в сосуде остывает и сжимается, поршень вдвигается, и выталкивающая сила уменьшается. Когда она станет меньше веса сосуда, нить провиснет и сосуд опустится на дно. Известно, при какой температуре это происходит, — нужно найти, каким был начальный объём воздуха при $27\ ^\circ\text{C}$.

Шаг 1 — когда сосуд начинает тонуть. Воду вытесняет не только воздух, но и сама сталь сосуда и поршня. Граница — когда сила Архимеда равна силе тяжести (масса воздуха мала, её вес не учитываем), а натяжение нити обращается в ноль:

$$\rho_{\text{в}}g\left(V_{\text{ст}}+V_2\right)=mg,$$

где $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды, $V_2$ — объём воздуха в этот момент, $V_{\text{ст}}=\dfrac{m}{\rho}$ — объём стали.

Шаг 2 — объём воздуха на границе:

$$V_2=\dfrac{m}{\rho_{\text{в}}}-\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{3}{1000}-\dfrac{3}{7800}=3\cdot10^{-3}-0{,}385\cdot10^{-3}\approx2{,}615\cdot10^{-3}\ \text{м}^3.$$

Шаг 3 — какой процесс идёт с воздухом. Поршень скользит без трения, поэтому давление воздуха всё время равно давлению воды у поршня, а сосуд, пока нить натянута, стоит на одной глубине. Значит, давление воздуха постоянно — процесс изобарный, и по закону Гей-Люссака объём пропорционален абсолютной температуре:

$$\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}.$$

Шаг 4 — начальный объём. $T_1=27+273=300$ К, $T_2=7+273=280$ К:

$$V_1=V_2\cdot\dfrac{T_1}{T_2}=2{,}615\cdot10^{-3}\cdot\dfrac{300}{280}\approx2{,}80\cdot10^{-3}\ \text{м}^3=2{,}8\ \text{л}.$$

Шаг 5 — что значит «может обладать». При начальном объёме $2{,}8$ л сосуд начинает опускаться ровно при $7\ ^\circ\text{C}$. Если начальный объём меньше, воздух дойдёт до граничного объёма $2{,}615$ л раньше — при более высокой температуре, и при охлаждении ниже $7\ ^\circ\text{C}$ сосуд тем более будет на дне. Если больше — при $7\ ^\circ\text{C}$ сосуд ещё будет держаться на плаву. Поэтому начальный объём воздуха должен быть не больше $\approx2{,}8\cdot10^{-3}$ м³. С другой стороны, он должен быть больше $\dfrac{m}{\rho_{\text{в}}}-\dfrac{m}{\rho}\approx2{,}6\cdot10^{-3}$ м³ — иначе при $27\ ^\circ\text{C}$ сосуд не стремился бы всплыть и нить была бы не нужна.

Проверим себя. При $V_1=2{,}8$ л и $300$ К выталкивающая сила $1000\cdot10\cdot(0{,}385+2{,}8)\cdot10^{-3}\approx31{,}9$ Н больше веса $30$ Н — нить натянута. При $280$ К объём воздуха $2{,}8\cdot\dfrac{280}{300}\approx2{,}61$ л, сила Архимеда $\approx30$ Н — ровно вес. Всё согласовано.

Почему модель законна. Воздух — идеальный газ постоянной массы. Давление воздуха постоянно: поршень без трения передаёт давление воды, глубина сосуда не меняется, пока он привязан. Температура воздуха равна температуре воды. Сосуд покоится, поэтому в момент, когда натяжение нити исчезает, сила Архимеда равна силе тяжести; масса воздуха мала по сравнению с массой стали.