Статика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048233

Что тут происходит. В ящике наискосок стоит лёгкий стержень: верхним концом он упирается в левую стенку, нижним — в угол у правой стенки и дна. На стержне на нити висит шар. Стенки и дно гладкие. Известно, с какой силой правая стенка давит на нижний конец. Нужно найти, где подвешен шар.

Дано: $L=2\ \text{м}$, $\alpha=30^\circ$, $m=5\ \text{кг}$, $N=15\ \text{Н}$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти: $x$.

Шаг 1 — силы на стержень. Шар покоится, поэтому нить тянет стержень вниз с силой $mg=50$ Н. Стержень невесомый — своей силы тяжести нет. Стенки и дно гладкие, значит их реакции перпендикулярны поверхностям: левая стенка давит на верхний конец горизонтально (вправо) с силой $N_1$, правая стенка — на нижний конец горизонтально (влево) с силой $N$, дно — на нижний конец вертикально вверх.

Шаг 2 — равновесие сил по горизонтали. Горизонтальных сил только две, поэтому $N_1=N=15$ Н.

Шаг 3 — правило моментов относительно нижнего конца. Через него проходят реакция правой стенки и реакция дна — их моменты нулевые. Обозначим $l$ — расстояние вдоль стержня от нижнего конца до точки подвеса. Плечо горизонтальной силы $N_1$ — вертикальное расстояние между концами, $L\cos\alpha$; плечо вертикальной силы $mg$ — горизонтальное расстояние, $l\sin\alpha$ (угол отсчитан от вертикали):

$$N_1L\cos\alpha=mg\,l\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad l=\dfrac{NL}{mg\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{15\cdot2}{50\cdot0{,}577}\approx\dfrac{30}{28{,}9}\approx1{,}04\ \text{м}.$$

Шаг 4 — переходим к расстоянию от верхнего конца: $x=L-l=L\left(1-\dfrac{N}{mg\,\mathrm{tg}\,\alpha}\right)\approx2-1{,}04=0{,}96$ м.

Проверим себя крайними случаями. Если бы шар висел у самого нижнего конца, его момент был бы нулевым и стенка не давила бы ($N=0$). Если у самого верхнего — $N=mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\approx28{,}9$ Н. Наши $15$ Н — примерно половина от наибольшего, и шар висит примерно посередине стержня: $0{,}96$ м из $2$ м. Сходится.