ID: 00041270
Однородная балка массы $m$ ($mg = 700$ Н) и длины $2{,}5$ м опирается о гладкий пол и гладкий выступ $B$, расположенный на высоте $1{,}75$ м над полом. Балка составляет с вертикалью угол $45^\circ$ и удерживается верёвкой $AC$, натянутой у пола. Найдите силу натяжения верёвки.
Дано:
$mg = 700$ Н
$l = 2{,}5$ м
$AB = 1{,}75$ м
$\alpha = 45^\circ$
Найти:
$T$ — ?
Момент силы находится по формуле: $M = Fl_0$, где $F$ — сила, $l_0$ — плечо силы $F$ относительно выбранной оси вращения.
Сделаем рисунок и расставим все силы, действующие на балку.
Запишем второй закон Ньютона для балки в проекциях на оси $x$ и $y$:
$\begin{cases} Ox: \ N_B\cos\alpha - T = 0 \quad (1) \\ Oy: \ N_B\sin\alpha + N_C - mg = 0 \end{cases}$
Так как балка находится в равновесии, алгебраическая сумма моментов сил, действующих на неё, равна нулю.
Правило моментов относительно точки опоры: моменты сил, вращающих балку по часовой стрелке, считаем положительными, против часовой — отрицательными.
Запишем уравнение моментов относительно точки $C$ (пол):
$M_{N_C} + M_T + M_{mg} + M_{N_B} = 0,$
где $M_{N_C} = 0$ — момент силы реакции пола; $M_T = 0$ — момент силы натяжения нити; $M_{mg} = mg \cdot \dfrac{l}{2}\sin\alpha$ — момент силы тяжести; $M_{N_B} = -N_B \cdot \dfrac{AB}{\cos\alpha}$ — момент силы реакции выступа.
Подставим:
$mg \cdot \dfrac{l}{2}\sin\alpha - N_B \cdot \dfrac{AB}{\cos\alpha} = 0$
Выразим $N_B$:
$N_B = \dfrac{mgl\sin\alpha\cos\alpha}{2AB}$
Из уравнения $(1)$:
$T = N_B\cos\alpha = \dfrac{mgl\sin\alpha\cos^2\alpha}{2AB}$
Подставим численные значения:
$T = \dfrac{700\ Н \cdot 2{,}5\ м \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos^2 45^\circ}{2 \cdot 1{,}75\ м} \approx 177$ Н
Ответ:
$T = \dfrac{mgl\sin 45^\circ \cos^2 45^\circ}{2AB} \approx 177$ Н
$T = \dfrac{mgl\sin 45^\circ \cos^2 45^\circ}{2AB} \approx 177$ Н