Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048226

Что здесь происходит. Мощность на реостате зависит от его сопротивления $R$. Если $R$ очень мало, напряжение на реостате почти нулевое; если очень велико — почти нет тока. Значит, где-то посередине мощность наибольшая — это и есть «промежуточное сопротивление». Найдём, при каком $R$ это происходит, и свяжем его с данными.

Дано: $\mathcal{E}=18$ В, $P_{\max}=12$ Вт, внутреннее сопротивление $r$ неизвестно. Найти: $R$, при котором мощность максимальна.

Шаг 1 — мощность на реостате. Ток $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$ (закон Ома для полной цепи), мощность на реостате — только её часть, $P=I^2R$:

$$P=\dfrac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}.$$

Шаг 2 — где максимум. Зададим мощность числом $P$ и посмотрим на это равенство как на уравнение относительно $R$:

$$P(R+r)^2=\mathcal{E}^2R\quad\Rightarrow\quad PR^2+(2Pr-\mathcal{E}^2)R+Pr^2=0.$$

Пока $P$ меньше максимума, у уравнения два корня — два сопротивления с одинаковой мощностью. При максимальной мощности корни сливаются в один: дискриминант равен нулю, а единственный корень

$$R=\dfrac{\mathcal{E}^2-2P_{\max}r}{2P_{\max}},\qquad(2P_{\max}r-\mathcal{E}^2)^2=4P_{\max}^2r^2.$$

Из второго равенства $\mathcal{E}^2-2P_{\max}r=2P_{\max}r$ (выражение в скобках отрицательно, иначе корень $R$ вышел бы отрицательным), то есть $\mathcal{E}^2=4P_{\max}r$. Подставляя в первое, получаем $R=\dfrac{4P_{\max}r-2P_{\max}r}{2P_{\max}}=r$: мощность на реостате максимальна, когда его сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Шаг 3 — числа. Из $\mathcal{E}^2=4P_{\max}r$:

$$R=r=\dfrac{\mathcal{E}^2}{4P_{\max}}=\dfrac{18^2}{4\cdot12}=\dfrac{324}{48}=6{,}75\ \text{Ом}.$$

Обрати внимание: мощность на реостате в этом режиме — половина мощности источника $\mathcal{E}I$, вторая половина выделяется внутри источника; брать $P_{\max}=\mathcal{E}I$ нельзя.

Проверим себя. При $R=r=6{,}75$ Ом ток $I=\dfrac{18}{13{,}5}=\dfrac{4}{3}$ А, мощность $\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\cdot6{,}75=12$ Вт. При $R=5{,}75$ Ом: $I=\dfrac{18}{12{,}5}=1{,}44$ А, $P=1{,}44^2\cdot5{,}75\approx11{,}9$ Вт; при $R=7{,}75$ Ом: $I=\dfrac{18}{14{,}5}\approx1{,}241$ А, $P\approx11{,}9$ Вт — обе меньше $12$ Вт, максимум действительно при $6{,}75$ Ом.

Почему модель законна. Источник — постоянная ЭДС с постоянным внутренним сопротивлением, сопротивление проводов не учитываем; ток постоянный, мощность на реостате — по закону Джоуля — Ленца; «промежуточное» сопротивление означает, что максимум достигается внутри диапазона реостата, а не на его краю.