Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00048220

Что тут происходит. Тело колеблется, и нам дан закон, по которому меняется проекция его скорости. Скорость колеблется так же, как координата, с тем же периодом. Нужно найти период.

Дано: $\upsilon_x=0{,}5\cos(10t)$ (все величины в СИ). Найти: $T$.

Шаг 1 — читаем закон. Гармоническое изменение скорости записывается так: $\upsilon_x=\upsilon_{\max}\cos(\omega t)$. Сравниваем с данным законом: амплитуда скорости $\upsilon_{\max}=0{,}5$ м/с, а число $10$, на которое умножено время, — циклическая частота $\omega=10\ \text{рад/с}$. Амплитуда скорости на период не влияет.

Шаг 2 — связь циклической частоты с периодом. За один период аргумент косинуса $\omega t$ увеличивается на полный оборот, то есть на $2\pi$ радиан. Поэтому $\omega T=2\pi$ и

$$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\cdot3{,}14}{10}\approx0{,}63\ \text{с}.$$

Две частые ошибки. Первая — считать $10$ числом колебаний в секунду: тогда вышел бы период $0{,}1$ с. Но $10$ — циклическая частота в радианах в секунду, а не обычная частота $\nu$. Вторая — считать полный оборот равным $360$, как в градусах: тогда вышло бы $36$ с. Аргумент косинуса здесь в радианах.

Проверим себя. При $t=0$ косинус равен $1$ — скорость максимальна. При $t\approx0{,}63$ с аргумент $10\cdot0{,}628\approx6{,}28\approx2\pi$, косинус возвращается к значению $1$ — тело вернулось в то же состояние. Это и есть период.