Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00045405

Дано:

$m = 0{,}1$ кг

$M = 3m$

$t = 1{,}7$ с

$L = 0{,}25$ м

$k = 40$ Н/м

Найти:

$v$ — ?

Поверхность гладкая, горизонтальных внешних сил при ударе нет, поэтому импульс системы «брусок + тело» сохраняется. Закон сохранения импульса запишем в виде:

$m\vec{v} = (M + m)\vec{v},'$

Направим ось $Ox$ по скорости $\vec{v}$. Тогда при столкновении бруска и тела в проекции на ось $Ox$:

$mv = v'(M + m) \Rightarrow mv = v'(3m + m) \Rightarrow v' = \dfrac{v}{4} \quad (1)$

где $v'$ — скорость бруска и тела после столкновения.

Чтобы вернуться в точку удара, телам надо пройти расстояние $2L$ (туда и обратно, равномерно со скоростью $v'$) и совершить половину колебания на пружине. Через половину периода пружина снова не деформирована, и тела отходят от неё с той же по модулю скоростью $v'$. Период колебаний пружинного маятника равен:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M + m}{k}} = 4\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

$\dfrac{T}{2} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \quad (2)$

Так как тела движутся по отрезку $L$ два раза, то время движения на этом участке равно $t_1 = \dfrac{2L}{v'}$.

Значит, время, затрачиваемое на возвращение тела обратно, равно:

$t = t_1 + \dfrac{T}{2} = \dfrac{2L}{v'} + \dfrac{T}{2}$

С учётом (1) и (2) оно равно:

$t = \dfrac{8L}{v} + 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Отсюда начальная скорость бруска:

$v = \dfrac{8L}{t - 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}}$

Подставим численные значения:

$v = \dfrac{8 \cdot 0{,}25\ м}{1{,}7\ с - 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}1\ кг}{40\ Н/м}}} \approx 1{,}44$ м/с

Использованные законы: закон сохранения импульса при абсолютно неупругом столкновении, формула периода колебаний пружинного маятника, формулы кинематики равномерного прямолинейного движения.