Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00045375

Дано:

$m = 150$ г

$M = 2m$

$v = 2$ м/с

$t = 2{,}5$ с

$k = 30$ Н/м

СИ:

$m = 0{,}15$ кг

Найти:

$L$ — ?

Закон сохранения импульса запишем в виде:

$m\vec{v} = (M + m)\vec{v},'$

Направим ось $Ox$ вдоль начальной скорости бруска (к пружине). Тогда при столкновении бруска и тела в проекции на ось $Ox$:

$mv = v'(M + m) \Rightarrow mv = v'(2m + m) \Rightarrow v' = \dfrac{v}{3} \quad (1)$

где $v'$ — скорость бруска и тела после столкновения.

Чтобы вернуться в точку удара, брускам надо пройти расстояние $2L$ и совершить половину колебания на пружине: сжать её до остановки и снова распрямить. Поверхность гладкая, поэтому бруски отходят от пружины с той же по модулю скоростью $v'$. Период колебаний пружинного маятника равен:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M + m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{3m}{k}}$

$\dfrac{T}{2} = \pi\sqrt{\dfrac{3m}{k}} \quad (2)$

Так как тела движутся по отрезку $L$ два раза, то время движения на этом участке равно $t_1 = \dfrac{2L}{v'}$.

Значит, время, затрачиваемое на возвращение тела обратно, равно:

$t = \dfrac{2L}{v'} + \dfrac{T}{2}$

С учётом (1) и (2) оно равно:

$t = \dfrac{6L}{v} + \pi\sqrt{\dfrac{3m}{k}}$

Отсюда расстояние $L$:

$L = \dfrac{v}{6}\left(t - \pi\sqrt{\dfrac{3m}{k}}\right)$

Подставим численные значения ($\pi \approx 3{,}14$):

$L = \dfrac{2\ м/с}{6}\left(2{,}5\ с - 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{3 \cdot 0{,}15\ кг}{30\ Н/м}}\right) \approx 0{,}705$ м