ID: 00026376
Небольшой брусок массой m = 100 г, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой М = 2 m . При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикреплённую к стене (см. рисунок). Через какое время t после абсолютно неупругого удара бруски вернутся в точку столкновения? Скорость движения бруска до столкновения υ = 2 м/с, жёсткость пружины k = 30 Н/м, а расстояние от точки столкновения до пружины L = 10 см.
Источник: ФИПИ
Соберём картину по рисунку. Слева по гладкому столу едет брусок массой $m=0{,}1$ кг со скоростью $\upsilon=2$ м/с. Он налетает на покоящееся тело массой $M=2m$ и слипается с ним. Дальше «сцепка» массой $3m$ едет вправо, проезжает расстояние $L=10$ см до недеформированной пружины, сжимает её, пружина отбрасывает сцепку назад, и та возвращается в точку столкновения. Всё время путешествия и надо сложить.
Путь распадается на три отрезка времени, и в каждом своя физика: удар, свободный проезд до пружины, работа пружины и снова свободный проезд обратно.
Шаг 1 — скорость после удара. Удар абсолютно неупругий и мгновенный, поверхность гладкая, поэтому сохраняется импульс: $m\upsilon=(m+M)u=3m\,u$. Масса сокращается: $$u=\dfrac{\upsilon}{3}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667\ \text{м/с}.$$ Энергия при таком ударе не сохраняется, поэтому её сюда привлекать нельзя.
Шаг 2 — время до пружины. Поверхность гладкая, никаких сил вдоль движения нет, значит сцепка едет равномерно: $$t_1=\dfrac{L}{u}=\dfrac{0{,}1}{2/3}=0{,}15\ \text{с}.$$
Шаг 3 — время «внутри» пружины. Здесь ключевая идея: как только сцепка коснулась пружины, она становится обычным пружинным маятником массой $3m$ на пружине жёсткостью $k$. Сцепка входит в контакт при недеформированной пружине, то есть в положении равновесия маятника, проходит его насквозь до крайнего сжатия и возвращается назад в то же положение равновесия. От положения равновесия до крайней точки и обратно — это ровно половина периода колебаний: $$t_2=\dfrac{T}{2}=\pi\sqrt{\dfrac{3m}{k}}=\pi\sqrt{\dfrac{0{,}3}{30}}=\pi\sqrt{0{,}01}=0{,}1\pi\approx 0{,}314\ \text{с}.$$ Обрати внимание: это время не зависит ни от скорости, ни от того, насколько сильно сжалась пружина, — тем и удобен маятник.
Шаг 4 — обратный путь. От пружины сцепка отходит с той же по модулю скоростью $u$ (пружина упругая, потерь нет) и снова едет равномерно: $t_3=t_1=0{,}15$ с.
Шаг 5 — складываем: $$t=t_1+t_2+t_3=0{,}15+0{,}314+0{,}15\approx 0{,}61\ \text{с}.$$
Проверим себя. Основную часть времени — примерно половину — сцепка проводит в контакте с пружиной, и это разумно: пружина мягкая ($30$ Н/м) при массе $0{,}3$ кг даёт период около $0{,}63$ с. Для сверки можно оценить и максимальное сжатие: из $\dfrac{3m u^2}{2}=\dfrac{k x^2}{2}$ получаем $x=u\sqrt{\dfrac{3m}{k}}=0{,}667\cdot 0{,}1\approx 6{,}7$ см — сжатие меньше $L$, значит пружина и правда успевает отработать до того, как что-то помешает.