Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048209

Что тут происходит. В тёплом воздухе всегда есть водяной пар. Если такой воздух сильно охладить, он уже не сможет удержать прежнее количество пара: лишнее выпадет каплями на холодных трубках теплообменника. Каждый кубометр тёплого воздуха, пройдя через холодильник, оставляет на нём немного воды. Найдём, сколько, а потом — сколько кубометров нужно на двухлитровую бутылку.

Дано: $t_1=28\,^\circ$С ($T_1=273+28=301$ К), $\varphi_1=0{,}6$, $t_2=1\,^\circ$С ($T_2=273+1=274$ К), $p_{\text{н}1}=28{,}4$ мм рт. ст., $p_{\text{н}2}=4{,}9$ мм рт. ст., $V=2$ л. Найти: $\Delta V$ — объём тёплого воздуха.

Шаг 1 — давление пара в тёплом воздухе. Влажный воздух — смесь сухого воздуха и водяного пара, и каждый газ давит «сам по себе» (закон Дальтона). Нас интересует только давление пара. Относительная влажность $\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}}$ — это доля от давления насыщенного пара при той же температуре, поэтому

$$p_1=\varphi_1p_{\text{н}1}=0{,}6\cdot28{,}4=17{,}04\ \text{мм рт. ст.}=17{,}04\cdot133\approx2266\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — пар после теплообменника. При $1\,^\circ$С пар не может иметь давление больше $p_{\text{н}2}=4{,}9$ мм рт. ст. Даже если учесть, что при охлаждении давление пара падает пропорционально абсолютной температуре, без конденсации оно было бы $17{,}04\cdot\dfrac{274}{301}\approx15{,}5$ мм рт. ст. — намного больше $4{,}9$. Значит, воздух охладился ниже точки росы, лишний пар выпал водой, а оставшийся насыщен:

$$p_2=p_{\text{н}2}=4{,}9\cdot133\approx652\ \text{Па}.$$

Важно: в воду уходит не весь пар, а только излишек сверх насыщения.

Шаг 3 — масса пара в кубометре. Пар считаем идеальным газом. Из уравнения Менделеева–Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$ масса пара в единице объёма (плотность)

$$\rho=\dfrac{p\mu}{RT},\quad \mu=0{,}018\ \text{кг/моль}.$$

Считаем, что каждая порция воздуха остывает, не меняя объёма. Тогда в одном кубометре до и после охлаждения:

$$\rho_1=\dfrac{2266\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot301}=\dfrac{40{,}79}{2501}\approx1{,}63\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,\qquad \rho_2=\dfrac{652\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot274}=\dfrac{11{,}73}{2277}\approx0{,}52\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3.$$

С каждого кубометра собирается

$$\Delta\rho=\rho_1-\rho_2\approx1{,}12\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,$$

то есть около $11$ граммов воды.

Шаг 4 — сколько воздуха нужно. Два литра воды — это $m=2$ кг. Тогда

$$\Delta V=\dfrac{m}{\Delta\rho}=\dfrac{mR}{\mu\left(\dfrac{\varphi_1p_{\text{н}1}}{T_1}-\dfrac{p_{\text{н}2}}{T_2}\right)}=\dfrac{2}{0{,}01116}\approx179\ \text{м}^3.$$

Уточним модель. Мы считали, что каждая порция воздуха остывает, не меняя объёма, — так получается $179\ \text{м}^3$. Но воздух прокачивают при атмосферном давлении, и, остывая, порция ещё и сжимается — в $\dfrac{301}{274}$ раза, во сколько падает абсолютная температура. Если это учесть и вести счёт на $1\ \text{м}^3$ тёплого воздуха на входе, то после охлаждения он занимает $\dfrac{274}{301}\approx0{,}91\ \text{м}^3$, и насыщенного пара в нём остаётся $\dfrac{p_{\text{н}2}\mu}{RT_1}$. Каждый кубометр тёплого воздуха отдаёт

$$\Delta\rho'=\dfrac{\mu\left(\varphi_1p_{\text{н}1}-p_{\text{н}2}\right)}{RT_1}=\dfrac{0{,}018\cdot(2266-652)}{8{,}31\cdot301}=\dfrac{29{,}05}{2501}\approx1{,}16\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,$$

и объём

$$\Delta V'=\dfrac{m}{\Delta\rho'}=\dfrac{mRT_1}{\mu\left(\varphi_1p_{\text{н}1}-p_{\text{н}2}\right)}=\dfrac{2}{0{,}0116}\approx172\ \text{м}^3.$$

Разница моделей — около $4\,\%$. Условие не уточняет, сжимается ли порция, поэтому верны обе — важно назвать в решении, какую модель ты выбрал. Вторая ближе к настоящему теплообменнику; в ответе к задаче обычно приводят первую, $179\ \text{м}^3$.

Проверим себя предельным случаем. Пусть бы в кубометре тёплого воздуха пара было ровно столько, сколько вмещает насыщенный пар при $1\,^\circ$С: $\dfrac{\varphi_1p_{\text{н}1}}{T_1}=\dfrac{p_{\text{н}2}}{T_2}$, то есть $\varphi_1=\dfrac{4{,}9\cdot301}{28{,}4\cdot274}\approx0{,}19$. Тогда вода не собиралась бы вовсе — и наша формула это чувствует: скобка в знаменателе обнуляется, а объём улетает в бесконечность. При $60\,\%$ скобка заметно больше нуля, и объём получается конечным — около $180$ кубометров, воздух небольшого зала.

Во второй модели скобка в знаменателе другая — $\varphi_1p_{\text{н}1}-p_{\text{н}2}$, и порог наступает при $\varphi_1=\dfrac{p_{\text{н}2}}{p_{\text{н}1}}=\dfrac{4{,}9}{28{,}4}\approx0{,}17$. Пороги близки, и при $60\,\%$ обе модели дают конечный объём.