Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048208

Что тут происходит. В тёплом крымском воздухе есть водяной пар, но он ненасыщенный: при $30\,^\circ$С воздух мог бы удержать вдвое больше пара. Воздух гонят через холодный теплообменник. При $3\,^\circ$С воздух может удержать совсем мало пара — всё лишнее выпадает каплями, их и собирают. Значит, каждый кубометр тёплого воздуха «отдаёт» определённую массу воды. Узнаем, сколько, и поймём, сколько кубометров нужно на литровую бутылку.

Дано: $t_1=30\,^\circ$С ($T_1=303$ К), $\varphi_1=0{,}5$, $t_2=3\,^\circ$С ($T_2=276$ К), $p_{\text{н}1}=31{,}8$ мм рт. ст., $p_{\text{н}2}=5{,}7$ мм рт. ст., $V=1$ л. Найти: $\Delta V$ — объём тёплого воздуха.

Шаг 1 — давление пара в тёплом воздухе. Относительная влажность показывает, какую долю от давления насыщенного пара составляет давление реального пара: $\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}}$. Поэтому

$$p_1=\varphi_1p_{\text{н}1}=0{,}5\cdot31{,}8=15{,}9\ \text{мм рт. ст.}=15{,}9\cdot133\approx2115\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — что будет после охлаждения. При $3\,^\circ$С давление пара не может быть больше $p_{\text{н}2}=5{,}7$ мм рт. ст. Даже если учесть, что при охлаждении давление пара падает пропорционально абсолютной температуре, без конденсации оно было бы $15{,}9\cdot\dfrac{276}{303}\approx14{,}5$ мм рт. ст. — намного больше $5{,}7$. Значит, температура опустилась ниже точки росы, лишний пар сконденсировался, а оставшийся пар насыщен:

$$p_2=p_{\text{н}2}=5{,}7\cdot133\approx758\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — от давления к массе пара. Водяной пар в воздухе ведёт себя как идеальный газ, поэтому для него работает уравнение Менделеева–Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$. Поделив на объём, получаем плотность пара — массу пара в одном кубометре:

$$\rho=\dfrac{p\mu}{RT},\quad \mu=0{,}018\ \text{кг/моль}.$$

Будем считать, что каждая порция воздуха остывает в теплообменнике, не меняя своего объёма. Тогда в одном кубометре было и осталось пара:

$$\rho_1=\dfrac{2115\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot303}=\dfrac{38{,}07}{2518}\approx1{,}51\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,\qquad \rho_2=\dfrac{758\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot276}=\dfrac{13{,}64}{2294}\approx0{,}59\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3.$$

Каждый кубометр тёплого воздуха отдаёт разность:

$$\Delta\rho=\rho_1-\rho_2\approx0{,}92\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,$$

то есть около $9$ граммов воды с кубометра.

Шаг 4 — сколько воздуха нужно. Литр воды — это $m=1$ кг (плотность воды $1000\ \text{кг/м}^3$). Значит,

$$\Delta V=\dfrac{m}{\Delta\rho}=\dfrac{mR}{\mu\left(\dfrac{\varphi_1p_{\text{н}1}}{T_1}-\dfrac{p_{\text{н}2}}{T_2}\right)}=\dfrac{1}{0{,}0092}\approx109\ \text{м}^3.$$

Уточним модель. Выше мы считали, что каждая порция воздуха остывает, не меняя объёма, — так получается $109\ \text{м}^3$. Но воздух прокачивают через теплообменник при атмосферном давлении, поэтому, остывая, порция ещё и сжимается: её объём уменьшается во столько же раз, во сколько падает абсолютная температура, — в $\dfrac{303}{276}$ раза. Тогда счёт удобно вести на $1\ \text{м}^3$ тёплого воздуха на входе. После охлаждения он занимает $\dfrac{276}{303}\approx0{,}91\ \text{м}^3$, и насыщенного пара в этом объёме остаётся $\rho_2\cdot\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_{\text{н}2}\mu}{RT_1}$. Значит, каждый кубометр тёплого воздуха отдаёт

$$\Delta\rho'=\dfrac{\mu\left(\varphi_1p_{\text{н}1}-p_{\text{н}2}\right)}{RT_1}=\dfrac{0{,}018\cdot(2115-758)}{8{,}31\cdot303}=\dfrac{24{,}43}{2518}\approx0{,}97\cdot10^{-2}\ \text{кг/м}^3,$$

а объём выходит

$$\Delta V'=\dfrac{m}{\Delta\rho'}=\dfrac{mRT_1}{\mu\left(\varphi_1p_{\text{н}1}-p_{\text{н}2}\right)}=\dfrac{1}{0{,}0097}\approx103\ \text{м}^3.$$

Две модели расходятся примерно на $6\,\%$. Условие не говорит, учитывать ли сжатие порции, поэтому верны обе — важно назвать в решении, какую модель ты взял. Вторая ближе к настоящему теплообменнику; в ответе к задаче обычно приводят первую, $109\ \text{м}^3$.

Проверим себя на правдоподобие: $109\ \text{м}^3$ — это воздух комнаты примерно $6\times6\times3$ м. Весь пар такой комнаты при $30\,^\circ$С и влажности $50\,\%$ весит около $1{,}6$ кг ($15$ г на кубометр), и больше половины его выпадает в теплообменнике — как раз литр. Числа согласуются.