МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048207

Что здесь происходит. Мешок с тяжёлым грузом лежит на дне. В мешок качают воздух, он выдавливает воду через отверстие внизу, и мешок раздувается. Вода выталкивает мешок тем сильнее, чем больше его объём. При объёме $28$ м³ выталкивающая сила догнала вес всей системы — мешок с грузом всплыл. Нужно найти, сколько весит сама оболочка.

Шаг 1 — условие всплытия. Выталкивает систему только объём воздуха в мешке (объём груза и стенок не учитываем). Тянут вниз оболочка массой $M$, груз $m_{\text{г}}=25{,}0$ т $=25\,000$ кг и воздух в мешке массой $m_{\text{в}}$. В момент отрыва от дна

$$\rho gV=(M+m_{\text{г}}+m_{\text{в}})g\quad\Rightarrow\quad M=\rho V-m_{\text{г}}-m_{\text{в}},$$

где $\rho=1000$ кг/м³ — плотность воды, $V=28{,}0$ м³.

Шаг 2 — давление воздуха в мешке. Мешок открыт снизу, и вода из него уходит, пока давление воздуха не сравняется с давлением воды на этой глубине. Давление воды на глубине $h=73{,}1$ м:

$$p=p_0+\rho gh=10^5+1000\cdot10\cdot73{,}1=10^5+7{,}31\cdot10^5=8{,}31\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — масса воздуха. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$, где $T=7+273=280$ К, $\mu=0{,}029$ кг/моль:

$$m_{\text{в}}=\dfrac{pV\mu}{RT}=\dfrac{8{,}31\cdot10^5\cdot28\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot280}.$$

Множитель $8{,}31$ стоит и в числителе, и в знаменателе, а $\dfrac{28}{280}=0{,}1$. Остаётся $m_{\text{в}}=10^5\cdot0{,}1\cdot0{,}029=290$ кг.

Шаг 4 — масса оболочки:

$$M=1000\cdot28-25\,000-290=28\,000-25\,000-290=2710\ \text{кг}.$$

Проверим себя. Вода, вытесненная мешком, весит $28$ т; из них $25$ т уходит на груз, около $0{,}3$ т — на воздух, остаток $2{,}71$ т приходится на оболочку. Масса положительная и меньше $3000$ кг — как и должно быть. Заметь: без учёта воздуха вышло бы $3000$ кг, ошибка больше $10\%$ — воздух здесь отбрасывать нельзя, потому что ответ — малая разность больших масс.

Почему модель законна. Воздух в мешке — идеальный газ с температурой воды. Вода покоится, давление в ней на глубине задаётся гидростатикой и через открытое отверстие передаётся воздуху; размер мешка мал по сравнению с глубиной. Объёмы груза и стенок по условию не учитываем. В момент отрыва сила реакции дна равна нулю, поэтому выталкивающая сила равна суммарной силе тяжести.