МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048205

Что здесь происходит. В горизонтальной трубочке столбик ртути делит воздух на две одинаковые части длиной $l_1$. Открытый конец затыкают пробкой — теперь обе порции воздуха заперты. Трубочку ставят вертикально запаянным концом вверх: ртуть своим весом сползает вниз на $d$, нижний воздух сжимается, верхний расширяется. По величине этого сдвига нужно найти атмосферное давление.

Шаг 1 — давления в начале. Пока трубочка лежит, вес ртути направлен поперёк трубки, поэтому давления воздуха по обе стороны столбика равны. Порция у открытого конца в момент закупоривания сообщалась с атмосферой — её давление $p_0$. Значит, и порция у запаянного конца имеет давление $p_0$. Обе длиной $l_1$.

Шаг 2 — длины в конце. Запаянный конец сверху, пробка снизу. Ртуть сдвигается вниз на $d$: верхняя порция (у запаянного конца) удлиняется до $l_1+d$, нижняя (у пробки) укорачивается до $l_1-d$.

Шаг 3 — закон Бойля — Мариотта для каждой порции. Массы порций и температура постоянны, сечение трубочки одно, поэтому объёмы пропорциональны длинам:

$$p_0l_1=p_{\text{в}}(l_1+d),\qquad p_0l_1=p_{\text{н}}(l_1-d),$$

где $p_{\text{в}}$ и $p_{\text{н}}$ — давления верхней и нижней порций.

Шаг 4 — равновесие ртути. Атмосфера после закупоривания на ртуть больше не давит. На столбик действуют только давление нижней порции снизу, давление верхней порции сверху и вес ртути. Из равновесия

$$p_{\text{н}}S=p_{\text{в}}S+\rho ghS\quad\Rightarrow\quad p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\rho gh.$$

Шаг 5 — решаем. Подставим давления из шага 3:

$$\dfrac{p_0l_1}{l_1-d}-\dfrac{p_0l_1}{l_1+d}=\rho gh.$$

Общий знаменатель $(l_1-d)(l_1+d)=l_1^2-d^2$, а числитель $p_0l_1\left((l_1+d)-(l_1-d)\right)=2dp_0l_1$. Получаем

$$\dfrac{2dp_0l_1}{l_1^2-d^2}=\rho gh\quad\Rightarrow\quad p_0=\dfrac{\rho gh\left(l_1^2-d^2\right)}{2dl_1}.$$

Если давление мерить в миллиметрах ртутного столба, а $h$ — в миллиметрах, то $\rho gh$ — это просто $h$, и $p_0=\dfrac{h\left(l_1^2-d^2\right)}{2dl_1}$ мм рт. ст.

Проверим себя. Размерность: $\rho gh$ — давление, дробь $\dfrac{l_1^2-d^2}{dl_1}$ безразмерна — ответ в паскалях. Смысл: чем меньше сдвиг $d$ при той же ртути, тем «жёстче» воздух, то есть тем больше его давление, — формула это показывает: при уменьшении $d$ давление растёт. И сдвиг обязан быть меньше $l_1$ — иначе нижняя порция исчезла бы, а давление вышло бы отрицательным.

Почему модель законна. Обе порции воздуха — идеальный газ постоянной массы при постоянной температуре (переворачивают медленно), поэтому для каждой верен закон Бойля — Мариотта. Сечение трубочки постоянно, объём пробки не учитываем. Ртуть в конце покоится, и для неё записано условие равновесия; давление столба ртути считается по формуле гидростатики.