Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048204

Что здесь происходит. В прочном сосуде заперт гелий. Его нагревают — давление растёт. Сосуд лопнет, когда давление внутри превысит наружное на $900$ кПа. Нужно найти, сколько теплоты для этого надо подвести.

Шаг 1 — начальное давление гелия. Его нет в условии, но его можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона ($V=8$ л $=8\cdot10^{-3}$ м³, $T_1=27+273=300$ К):

$$p_1=\dfrac{\nu RT_1}{V}=\dfrac{2\cdot8{,}31\cdot300}{8\cdot10^{-3}}=\dfrac{4986}{8\cdot10^{-3}}\approx6{,}23\cdot10^5\ \text{Па}.$$

Заметь: это больше атмосферного примерно в шесть раз — гелий в сосуде уже сжат.

Шаг 2 — давление, при котором сосуд лопнет. Сосуд выдерживает разность давлений $900$ кПа, снаружи атмосфера $10^5$ Па, поэтому

$$p_2=p_0+\Delta p=10^5+9\cdot10^5=10^6\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — первый закон термодинамики. Стенки сосуда не двигаются, объём постоянен, поэтому газ работы не совершает: $A=0$. Вся подведённая теплота идёт на увеличение внутренней энергии: $Q=\Delta U$.

Шаг 4 — изменение внутренней энергии. Гелий одноатомный, его внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. А так как $\nu RT=pV$, удобно записать $U=\dfrac{3}{2}pV$ и сразу перейти к давлениям:

$$Q=\Delta U=\dfrac{3}{2}V(p_2-p_1)=\dfrac{3}{2}\cdot8\cdot10^{-3}\cdot\left(10^6-6{,}2325\cdot10^5\right)=0{,}012\cdot3{,}7675\cdot10^5\approx4521\ \text{Дж}.$$

То есть около $4{,}5$ кДж.

Проверим себя через температуру. Конечная температура $T_2=\dfrac{p_2V}{\nu R}=\dfrac{10^6\cdot8\cdot10^{-3}}{2\cdot8{,}31}\approx481$ К. Тогда $Q=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=1{,}5\cdot2\cdot8{,}31\cdot181\approx4513$ Дж — то же самое с точностью до округления $T_2$.

Почему модель законна. Гелий — одноатомный газ, при таких условиях его считаем идеальным, и его внутренняя энергия $\dfrac{3}{2}\nu RT$. Сосуд жёсткий: до разрыва объём не меняется (растяжением стенок пренебрегаем), поэтому работа газа равна нулю и применим первый закон термодинамики в виде $Q=\Delta U$. Сосуд лопается, когда разность давлений достигает предельной.