МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048201

Что здесь происходит. Каждый шарик с гелием выталкивается окружающим воздухом вверх (сила Архимеда), но сам гелий тоже что-то весит. Разница этих двух сил — «чистая» подъёмная сила шарика. Чем тяжелее мальчик, тем больше шаров нужно; у нас шаров ровно $3000$, и нужно понять, какую самую большую массу они ещё способны поднять.

Шаг 1 — какие силы. На систему «мальчик + шары» действуют: сила Архимеда на шары $F_{\text{А}}=\rho_{\text{в}}gV$ (объёмом мальчика пренебрегаем), сила тяжести гелия $\rho_{\text{He}}gV$ и сила тяжести мальчика $Mg$ (оболочки невесомы). Здесь $V=NV_0$ — общий объём всех шаров.

Шаг 2 — когда мальчик ещё поднимется. Подниматься он может, пока сила Архимеда не меньше суммарной силы тяжести. Самая большая допустимая масса — та, при которой они равны:

$$\rho_{\text{в}}gV=\rho_{\text{He}}gV+Mg\quad\Rightarrow\quad M=(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{He}})V.$$

Шаг 3 — плотности газов. Оболочка шарика тонкая и мягкая, поэтому давление гелия в шаре равно наружному давлению $p_0$, а температура — температуре улицы $T$. Плотность идеального газа получаем из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$: $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{p\mu}{RT}$. Тогда

$$M=\dfrac{p_0(\mu_{\text{в}}-\mu_{\text{He}})NV_0}{RT}.$$

Шаг 4 — данные в СИ. $N=3000$, $V_0=15$ л $=15\cdot10^{-3}$ м³, поэтому $V=3000\cdot15\cdot10^{-3}=45$ м³. $T=20+273=293$ К. Молярные массы: воздуха $\mu_{\text{в}}=0{,}029$ кг/моль, гелия $\mu_{\text{He}}=0{,}004$ кг/моль; разность $0{,}025$ кг/моль. Нормальное атмосферное давление $p_0\approx10^5$ Па.

Шаг 5 — считаем:

$$M=\dfrac{10^5\cdot0{,}025\cdot45}{8{,}31\cdot293}=\dfrac{112\,500}{2435}\approx46\ \text{кг}.$$

Если взять точнее $p_0=1{,}013\cdot10^5$ Па, получится $\approx46{,}8$ кг — то есть около $46$–$47$ кг, разница меньше $2\%$.

Проверим себя по-другому. Плотность воздуха при этих условиях $\rho_{\text{в}}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot293}\approx1{,}19$ кг/м³ — привычные «примерно $1{,}2$ кг на кубометр». Значит, $45$ м³ воздуха весят около $53{,}6$ кг, а гелий в том же объёме — в $\dfrac{29}{4}=7{,}25$ раза меньше, около $7{,}4$ кг. Разность $53{,}6-7{,}4\approx46$ кг — сходится.

Почему модель законна. Воздух и гелий при атмосферном давлении — разреженные газы, их считаем идеальными и плотности находим из уравнения Менделеева — Клапейрона. Оболочки невесомы и не натянуты, поэтому давление и температура гелия равны наружным. На шары действует закон Архимеда для газа: выталкивающая сила равна весу вытесненного воздуха. Объём мальчика по условию не учитываем, поэтому на него сила Архимеда не действует.